Question

Sea $O$ un punto interior del triángulo $ABC,$ y sea $s_1=OA+OB+OC.$ Si $s_2=AB+BC+CA,$ entonces:

Let $O$ be an interior point of triangle $ABC,$ and let $s_1=OA+OB+OC.$ If $s_2=AB+BC+CA,$ then:

para todo triángulo, $s_1\gt\dfrac12s_2,$ y $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

para todo triángulo, $s_1\geq\dfrac12s_2,$ y $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

para todo triángulo, $s_1\gt\dfrac12s_2,$ y $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

para todo triángulo, $s_1\geq\dfrac12s_2,$ y $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

ni $(A)$ , ni $(B)$ , ni $(C)$ , ni $(D)$ se aplica a todo triángulo

neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ applies to every triangle

Respuesta: C

Conceptos:acotación a casos límite desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Suma $AB\lt OA+OB,$ $BC\lt OB+OC,$ y $CA\lt OC+OA$

Add $AB\lt OA+OB,$ $BC\lt OB+OC,$ and $CA\lt OC+OA$

Pista grande:

Prolonga $AO$ hasta el lado $BC$ para demostrar $OA+OB\lt AC+CB,$ y repite cíclicamente

Extend $AO$ to side $BC$ to prove $OA+OB\lt AC+CB,$ and cycle

Solución:

Al sumar las tres desigualdades triangulares estrictas $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ se obtiene $s_2\lt2s_1.$

Para la cota superior, prolonga $AO$ hasta $D$ en $BC.$ Entonces $AO+OD\lt AC+CD$ y $OB\lt OD+DB,$ por lo que al cancelar se obtiene $OA+OB\lt AC+CB.$ Al repetir cíclicamente y sumar se obtiene $2s_1\lt2s_2.$ Por lo tanto, $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ y $s_1\lt s_2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the three strict triangle inequalities $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ gives $s_2\lt2s_1.$

For the upper bound, extend $AO$ to $D$ on $BC.$ Then $AO+OD\lt AC+CD$ and $OB\lt OD+DB,$ so cancellation gives $OA+OB\lt AC+CB.$ Cycling and adding yields $2s_1\lt2s_2.$ Therefore $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ and $s_1\lt s_2.$

Thus, the correct answer is C.

1966 AMC 12 Problema 35

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años