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1973 AMC 12 Problema 35

Intenta el Problema 35 del 1973 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1973 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

35.

En el círculo unitario mostrado, las cuerdas PQPQ y MNMN son paralelas al radio unitario OROR del círculo con centro O.O. Las cuerdas MP,MP, PQ,PQ, y NRNR miden ss unidades cada una, y la cuerda MNMN mide dd unidades.

De las tres ecuaciones I.d−s=1,II.ds=1,III.d2−s2=5 \begin{array}{rl} \mathrm{I}.&d-s=1,\\ \mathrm{II}.&ds=1,\\ \mathrm{III}.&d^2-s^2=\sqrt5 \end{array} las que son necesariamente verdaderas son

In the unit circle shown in the figure, chords PQPQ and MNMN are parallel to the unit radius OROR of the circle with center at O.O. Chords MP,MP, PQ,PQ, and NRNR are each ss units long and chord MNMN is dd units long.

Of the three equations I.d−s=1,II.ds=1,III.d2−s2=5 \begin{array}{rl} \mathrm{I}.&d-s=1,\\ \mathrm{II}.&ds=1,\\ \mathrm{III}.&d^2-s^2=\sqrt5 \end{array} those which are necessarily true are

solo I\mathrm{I}

I\mathrm{I} only

solo II\mathrm{II}

II\mathrm{II} only

solo III\mathrm{III}

III\mathrm{III} only

solo I\mathrm{I} y II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, y III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and III\mathrm{III}

Respuesta: E
Conceptos:cuerdacírculoidentidad trigonométricamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:

Usa la simetría respecto del diámetro vertical para ver que la semicircunferencia superior está dividida por cinco cuerdas iguales

Use symmetry across the vertical diameter to see that the upper semicircle is divided into five equal chords

Pista grande:

Escribe s=2sin⁡18∘s=2\sin18^\circ y d=2sin⁡54∘,d=2\sin54^\circ, y luego relaciona cada uno con el cuadrado del otro

Write s=2sin⁡18∘s=2\sin18^\circ and d=2sin⁡54∘,d=2\sin54^\circ, then relate each to the square of the other

Solución:

Sea KK el extremo izquierdo del diámetro horizontal. La reflexión respecto del diámetro vertical muestra que KM=NR=sKM=NR=s y QN=MP=s.QN=MP=s. Junto con las cuerdas iguales dadas, la semicircunferencia superior queda dividida en cinco arcos iguales. Cada uno subtiende 36∘36^\circ en O.O. Por lo tanto, s=2sin⁡18∘,d=2sin⁡54∘=2cos⁡36∘. \begin{aligned} s&=2\sin18^\circ,\\ d&=2\sin54^\circ\\ &=2\cos36^\circ. \end{aligned}

Usando las identidades de ángulo doble, d=2(1−2sin⁡218∘)=2−s2,s=2cos⁡72∘=4cos⁡236∘−2=d2−2. \begin{aligned} d&=2(1-2\sin^218^\circ)\\ &=2-s^2,\\ s&=2\cos72^\circ\\ &=4\cos^236^\circ-2\\ &=d^2-2. \end{aligned} Al sumar estas ecuaciones se obtiene d+s=d2−s2=(d−s)(d+s). d+s=d^2-s^2=(d-s)(d+s). Como d+s>0,d+s\gt0, se sigue que d−s=1.d-s=1. Al sustituir d=s+1d=s+1 en d=2−s2d=2-s^2 se obtiene s2+s=1,s=5−12. s^2+s=1, \qquad s=\frac{\sqrt5-1}{2}. Por lo tanto, ds=s(s+1)=1 ds=s(s+1)=1 y d2−s2=(d−s)(d+s)=2s+1=5. \begin{aligned} d^2-s^2 &=(d-s)(d+s)\\ &=2s+1\\ &=\sqrt5. \end{aligned} Las tres ecuaciones son necesariamente verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let KK be the left endpoint of the horizontal diameter. Reflection across the vertical diameter shows that KM=NR=sKM=NR=s and QN=MP=s.QN=MP=s. Together with the given equal chords, the upper semicircle is split into five equal arcs. Each subtends 36∘36^\circ at O.O. Thus s=2sin⁡18∘,d=2sin⁡54∘=2cos⁡36∘. \begin{aligned} s&=2\sin18^\circ,\\ d&=2\sin54^\circ\\ &=2\cos36^\circ. \end{aligned}

Using the double-angle identities, d=2(1−2sin⁡218∘)=2−s2,s=2cos⁡72∘=4cos⁡236∘−2=d2−2. \begin{aligned} d&=2(1-2\sin^218^\circ)\\ &=2-s^2,\\ s&=2\cos72^\circ\\ &=4\cos^236^\circ-2\\ &=d^2-2. \end{aligned} Adding these equations gives d+s=d2−s2=(d−s)(d+s). d+s=d^2-s^2=(d-s)(d+s). Since d+s>0,d+s\gt0, it follows that d−s=1.d-s=1. Substituting d=s+1d=s+1 into d=2−s2d=2-s^2 yields s2+s=1,s=5−12. s^2+s=1, \qquad s=\frac{\sqrt5-1}{2}. Therefore ds=s(s+1)=1 ds=s(s+1)=1 and d2−s2=(d−s)(d+s)=2s+1=5. \begin{aligned} d^2-s^2 &=(d-s)(d+s)\\ &=2s+1\\ &=\sqrt5. \end{aligned} All three equations are necessarily true.

Therefore, the correct answer is E.

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