Question

El número $695$ se escribe en base factorial, es decir, $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n!, \end{aligned}$ donde $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ son enteros tales que $0\le a_k\le k,$ y $n!$ significa $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1.$ Halla $a_4.$

The number $695$ is to be written with a factorial base of numeration, that is, $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n!, \end{aligned}$ where $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ are integers such that $0\le a_k\le k,$ and $n!$ means $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1.$ Find $a_4.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica factorial

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Comienza con el mayor factorial que no supere $695$

Begin with the largest factorial not exceeding $695$

Pista grande:

Tras quitar la contribución de $5!$ , divide el resto entre $4!$

After removing the $5!$ contribution, divide the remainder by $4!$

Solución:

Como $5!=120,$ $695=5\cdot120+95.$ Luego $4!=24,$ y $95=3\cdot24+23.$ Por tanto, el coeficiente $a_4$ es $3.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $5!=120,$ $695=5\cdot120+95.$ Next $4!=24,$ and $95=3\cdot24+23.$ Therefore the coefficient $a_4$ is $3.$

Thus, the correct answer is D.

1961 AMC 12 Problema 35

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años