Question

El lado $\overline{AC}$ del triángulo rectángulo $ABC$ se divide en $8$ partes iguales. Desde los puntos de división se trazan siete segmentos paralelos a $\overline{BC}$ hasta $\overline{AB}$ . Si $BC=10,$ entonces la suma de las longitudes de los siete segmentos:

Side $\overline{AC}$ of right triangle $ABC$ is divided into $8$ equal parts. Seven line segments parallel to $\overline{BC}$ are drawn to $\overline{AB}$ from the points of division. If $BC=10,$ then the sum of the lengths of the seven line segments:

no se puede hallar con la información dada

cannot be found from the given information

es $33$

is $33$

es $34$

is $34$

es $35$

is $35$

es $45$

is $45$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Cada triángulo pequeño con vértice $A$ es semejante al triángulo $ABC$

Each small triangle with vertex $A$ is similar to triangle $ABC$

Pista grande:

Las siete longitudes paralelas son $\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}$

The seven parallel lengths are $\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}$

Solución:

Por semejanza, el segmento en el $k$ -ésimo punto de división mide $\frac{10k}{8}$ para $k=1,\ldots,7.$ Su suma es $\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By similarity, the segment at the $k$ th division point has length $\frac{10k}{8}$ for $k=1,\ldots,7.$ Their sum is $\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1957 AMC 12 Problema 35

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años