Question

En este diagrama, el centro del círculo es $O,$ el radio mide $a$ pulgadas, la cuerda $EF$ es paralela a la cuerda $CD,$ los puntos $O,$ $G,$ $H,$ $J$ son colineales y $G$ es el punto medio de $CD.$ Sea $K$ , en pulgadas cuadradas, el área del trapecio $CDFE$ , y sea $R$ , en pulgadas cuadradas, el área del rectángulo $ELMF.$ Al trasladar $CD$ y $EF$ hacia arriba, de modo que $OG$ aumente y se acerque al valor $a,$ mientras $JH$ siempre sea igual a $HG,$ la razón $K:R$ se aproxima tanto como se quiera a:

In this diagram the center of the circle is $O,$ the radius is $a$ inches, chord $EF$ is parallel to chord $CD,$ $O,$ $G,$ $H,$ $J$ are collinear, and $G$ is the midpoint of $CD.$ Let $K$ (square inches) represent the area of trapezoid $CDFE$ and let $R$ (square inches) represent the area of rectangle $ELMF.$ Then, as $CD$ and $EF$ are translated upward so that $OG$ increases toward the value $a,$ while $JH$ always equals $HG,$ the ratio $K:R$ becomes arbitrarily close to:

$0$

$1$

$\sqrt2$

$\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac12$

$\dfrac1{\sqrt2}+1$

Respuesta: D

Conceptos:círculo cuerda trapecio cálculo

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Sea $JH=HG=x,$ de modo que $OG=a-2x$ y $OH=a-x$

Let $JH=HG=x,$ so $OG=a-2x$ and $OH=a-x$

Pista grande:

Expresa las dos semicuerdas mediante el teorema de Pitágoras y luego haz que $x$ se acerque a $0$

Express the two half-chords with the Pythagorean theorem, then let $x$ approach $0$

Solución:

Sea $JH=HG=x.$ Entonces $OG=a-2x$ y $OH=a-x.$ Las semicuerdas son $\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}. \end{aligned}$ Como ambas figuras tienen altura $x,$ $\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}. \end{aligned}$ Cuando $x$ se acerca a $0,$ la última fracción se acerca a $\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}.$ Por lo tanto, $K:R$ se acerca a $\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $JH=HG=x.$ Then $OG=a-2x$ and $OH=a-x.$ The half-chords are $\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}. \end{aligned}$ Since both figures have height $x,$ $\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}. \end{aligned}$ As $x$ approaches $0,$ the latter fraction approaches $\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}.$ Thus $K:R$ approaches $\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 Problema 35

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años