Question

Las raíces de $64x^3-144x^2+92x-15=0$ están en progresión aritmética. La diferencia entre la mayor y la menor es:

The roots of $64x^3-144x^2+92x-15=0$ are in arithmetic progression. The difference between the largest and smallest roots is:

$2$

$1$

$\dfrac12$

$\dfrac38$

$\dfrac14$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio sucesión aritmética Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Escribe las raíces como $t-d,$ $t,$ y $t+d$

Write the roots as $t-d,$ $t,$ and $t+d$

Pista grande:

Usa su suma para hallar $t,$ y luego su producto para hallar $d^2$

Use their sum to find $t,$ then use their product to find $d^2$

Solución:

Sean las raíces $t-d,$ $t,$ y $t+d.$ Su suma es $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4},$ por lo que $t=\frac{3}{4}.$ Su producto es $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}.$ Al sustituir $t=\frac{3}{4}$ , se obtiene $d^2=\frac{1}{4},$ así que la diferencia entre las raíces extremas es $2\lvert d\rvert=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $t-d,$ $t,$ and $t+d.$ Their sum is $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4},$ so $t=\frac{3}{4}.$ Their product is $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}.$ Substituting $t=\frac{3}{4}$ gives $d^2=\frac{1}{4},$ so the difference between the extreme roots is $2\lvert d\rvert=1.$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 Problema 35

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años