Question

Se da una progresión geométrica de cinco términos, cada uno un entero positivo menor que $100.$ La suma de los cinco es $211.$ Si $S$ es la suma de los términos de la progresión que son cuadrados de enteros, entonces $S$ es:

Given a geometric progression of five terms, each a positive integer less than $100.$ The sum of the five terms is $211.$ If $S$ is the sum of those terms in the progression which are squares of integers, then $S$ is:

$0$

$91$

$133$

$195$

$211$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica divisibilidad cuadrado perfecto análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Escribe la razón común racional en su forma irreducible $\frac{c}{d}$

Write the rational common ratio in lowest terms as $\frac{c}{d}$

Pista grande:

La integridad obliga a que el término medio sea múltiplo de $c^2d^2$ ; usa que $211$ es primo

Integrality forces the middle term to be a multiple of $c^2d^2$ ; use that $211$ is prime

Solución:

Sea $\frac{c}{d}$ la razón común en su forma irreducible y sea $a$ el término medio. Como los cinco términos son enteros, $a$ es divisible por $c^2d^2,$ así que escribimos $a=kc^2d^2.$ Entonces la suma $211$ es divisible por $k.$ Por ello, $k$ es $1$ o $211.$ Pero el término medio $a$ es menor que $100,$ así que $k=1.$

Por lo tanto, $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}$ La cota da $c,d\lt4.$ Si alguno es $1,$ las sumas posibles son $5,$ $31,$ o $121,$ no $211.$ La coprimalidad deja entonces que $c$ y $d$ sean $2$ y $3$ , en cualquier orden. La progresión es $16,$ $24,$ $36,$ $54,$ $81.$ Sus términos cuadrados suman $16+36+81=133.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the common ratio be $\frac{c}{d}$ in lowest terms and the middle term be $a.$ Since all five terms are integers, $a$ is divisible by $c^2d^2,$ so write $a=kc^2d^2.$ The sum $211$ is then divisible by $k.$ Thus $k$ is $1$ or $211.$ But the middle term $a$ is less than $100,$ so $k=1.$

Thus $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}$ The bound gives $c,d\lt4.$ If either is $1,$ the possible sums are $5,$ $31,$ or $121,$ not $211.$ Coprimality therefore leaves $c$ and $d$ equal to $2$ and $3$ in either order. The progression is $16,$ $24,$ $36,$ $54,$ $81.$ Its square terms sum to $16+36+81=133.$

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 Problema 36

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años