Question

Desde los vértices del triángulo $ABC$ se trazan los segmentos $AD=10,$ $BE=6,$ $CF=24$ , cada uno perpendicular a una recta $RS$ que no corta al triángulo. Los puntos $D,$ $E,$ $F$ son las intersecciones de $RS$ con esas perpendiculares. Si $x$ es la longitud del segmento perpendicular $GH$ , trazado hasta $RS$ desde el punto $G$ de intersección de las medianas del triángulo, entonces $x$ es:

Segments $AD=10,$ $BE=6,$ $CF=24$ are drawn from the vertices of triangle $ABC,$ each perpendicular to a straight line $RS,$ not intersecting the triangle. Points $D,$ $E,$ $F$ are the intersection points of $RS$ with the perpendiculars. If $x$ is the length of the perpendicular segment $GH$ drawn to $RS$ from the intersection point $G$ of the medians of the triangle, then $x$ is:

$\dfrac{40}{3}$

$16$

$\dfrac{56}{3}$

$\dfrac{80}{3}$

indeterminado

undetermined

Respuesta: A

Conceptos:baricentro vector media

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

La distancia con signo de un punto a una recta fija es una función afín

Signed distance from a point to a fixed line is an affine function

Pista grande:

El centroide es el promedio de los tres vértices

The centroid is the average of the three vertices

Solución:

Como $RS$ no corta al triángulo, las tres distancias perpendiculares tienen el mismo signo. La distancia con signo a una recta fija es afín, y el centroide es el promedio de los vértices. Por lo tanto, su distancia es el promedio $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $RS$ does not intersect the triangle, the three perpendicular distances have the same sign. Signed distance to a fixed line is affine, and the centroid is the average of the vertices. Therefore its distance is the average $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 Problema 37

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años