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1954 AMC 12 Problema 37

Intenta el Problema 37 del 1954 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1954 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

37.

Dado el triángulo PQRPQR, donde RS‾\overline{RS} biseca ∠R,\angle R, PQ‾\overline{PQ} se prolonga hasta D,D, y ∠n\angle n es recto, entonces:

Given triangle PQRPQR with RS‾\overline{RS} bisecting ∠R,\angle R, PQ‾\overline{PQ} extended to D,D, and ∠n\angle n a right angle, then:

∠m=12(∠p−∠q)\angle m=\dfrac12(\angle p-\angle q)

∠m=12(∠p+∠q)\angle m=\dfrac12(\angle p+\angle q)

∠d=12(∠q+∠p)\angle d=\dfrac12(\angle q+\angle p)

∠d=12∠m\angle d=\dfrac12\angle m

ninguna de las anteriores es correcta

none of these is correct

Respuesta: B
Conceptos:bisectrizpersecución de ángulossuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:

Antes de bisecarse, el ángulo en RR mide 180∘−∠p−∠q180^\circ-\angle p-\angle q

The bisected angle at RR measures 180∘−∠p−∠q180^\circ-\angle p-\angle q before it is halved

Pista grande:

Como la transversal es perpendicular a la bisectriz, ∠m\angle m complementa la mitad de ∠R\angle R

Since the transversal is perpendicular to the angle bisector, ∠m\angle m complements half of ∠R\angle R

Solución:

El ángulo en RR es 180∘−∠p−∠q. 180^\circ-\angle p-\angle q. Como RS‾\overline{RS} biseca este ángulo, el ángulo entre PR‾\overline{PR} y RS‾\overline{RS} es 90∘−12(∠p+∠q). 90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q). La recta que forma ∠m\angle m es perpendicular a RS‾,\overline{RS}, por lo que ∠m=12(∠p+∠q). \angle m=\frac12(\angle p+\angle q).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The angle at RR is 180∘−∠p−∠q. 180^\circ-\angle p-\angle q. Because RS‾\overline{RS} bisects this angle, the angle between PR‾\overline{PR} and RS‾\overline{RS} is 90∘−12(∠p+∠q). 90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q). The line forming ∠m\angle m is perpendicular to RS‾,\overline{RS}, so ∠m=12(∠p+∠q). \angle m=\frac12(\angle p+\angle q).

Thus, the correct answer is B.

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