1954 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

El cuadrado de $5-\sqrt{y^2-25}$ es:

The square of $5-\sqrt{y^2-25}$ is:

$y^2-5\sqrt{y^2-25}$

$-y^2$

$y^2$

$(5-y)^2$

$y^2-10\sqrt{y^2-25}$

Respuesta: E

Conceptos:radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Usa $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Use $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Pista grande:

La constante $25$ se cancela con el $-25$ que queda al elevar el radical al cuadrado

The constant $25$ cancels with the $-25$ inside the squared radical

Solución:

Al desarrollar se obtiene $\begin{aligned} &\left(5-\sqrt{y^2-25}\right)^2\\ &\quad=25-10\sqrt{y^2-25}\\ &\qquad{}+y^2-25\\ &\quad=y^2-10\sqrt{y^2-25}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Expanding gives $\begin{aligned} &\left(5-\sqrt{y^2-25}\right)^2\\ &\quad=25-10\sqrt{y^2-25}\\ &\qquad{}+y^2-25\\ &\quad=y^2-10\sqrt{y^2-25}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2.

Al eliminar las fracciones, la ecuación $\begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned}$ se puede transformar en $x^2-5x+4=0.$ Las raíces de esta última ecuación son $4$ y $1.$ Entonces las raíces de la primera ecuación son:

The equation $\begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned}$ can be transformed by eliminating fractions to the equation $x^2-5x+4=0.$ The roots of the latter equation are $4$ and $1.$ Then the roots of the first equation are:

$4$ y $1$

$4$ and $1$

solamente $1$

only $1$

solamente $4$

only $4$

ni $4$ ni $1$

neither $4$ nor $1$

$4$ y alguna otra raíz

$4$ and some other root

Respuesta: C

Conceptos:ecuación racional propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Comprueba ambas raíces en el denominador de la ecuación original

Check both roots against the denominator in the original equation

Pista grande:

Eliminar un denominador puede introducir un valor para el cual la expresión original no está definida

Clearing a denominator can introduce a value at which the original expression is undefined

Solución:

La cuadrática transformada se factoriza como $(x-1)(x-4)=0.$ Sin embargo, la ecuación original tiene denominador $x-1,$ así que no está definida en $x=1.$ La sustitución de $x=4$ es válida y satisface la ecuación original.

Por lo tanto, la única raíz es $4,$ y la respuesta correcta es C.

The transformed quadratic factors as $(x-1)(x-4)=0.$ However, the original equation has denominator $x-1,$ so it is undefined at $x=1.$ Substitution of $x=4$ is valid and satisfies the original equation.

Thus, the only root is $4,$ and the correct answer is C.

3.

Si $x$ varía como el cubo de $y,$ y $y$ varía como la quinta raíz de $z,$ entonces $x$ varía como la potencia $n$ -ésima de $z,$ donde $n$ es:

If $x$ varies as the cube of $y,$ and $y$ varies as the fifth root of $z,$ then $x$ varies as the $n$ th power of $z,$ where $n$ is:

$\dfrac1{15}$

$\dfrac53$

$\dfrac35$

$15$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción exponente sustitución

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Escribe $x=k_1y^3$ y $y=k_2z^{\frac{1}{5}}$

Write $x=k_1y^3$ and $y=k_2z^{\frac{1}{5}}$

Pista grande:

Sustituye la segunda ley de variación en la primera y multiplica los exponentes

Substitute the second variation law into the first and multiply the exponents

Solución:

Como $y$ es proporcional a $z^{\frac{1}{5}},$ su cubo es proporcional a $z^{\frac{3}{5}}.$ Puesto que $x$ es proporcional a $y^3,$ $x\propto z^{\frac{3}{5}}.$ Por consiguiente, $n=\frac{3}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $y$ is proportional to $z^{\frac{1}{5}},$ its cube is proportional to $z^{\frac{3}{5}}.$ Because $x$ is proportional to $y^3,$ $x\propto z^{\frac{3}{5}}.$ Hence $n=\frac{3}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

4.

Si el máximo común divisor de $6432$ y $132$ se reduce en $8,$ será igual a:

If the Highest Common Divisor of $6432$ and $132$ is diminished by $8,$ it will equal:

$-6$

$6$

$-2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:máximo común divisor factorización en primos operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa el algoritmo de Euclides o factoriza los dos números

Use the Euclidean algorithm or factor the two numbers

Pista grande:

Su máximo común divisor es $12$

Their greatest common divisor is $12$

Solución:

El algoritmo de Euclides da $\gcd(6432,132)=12.$ Al reducir este valor en $8$ , se obtiene $12-8=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The Euclidean algorithm gives $\gcd(6432,132)=12.$ Diminishing this by $8$ gives $12-8=4.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio $10$ pulgadas. Su área es:

A regular hexagon is inscribed in a circle of radius $10$ inches. Its area is:

$150\sqrt3$ pulgadas cuadradas

$150\sqrt3$ sq. in.

$150$ pulgadas cuadradas

$150$ sq. in.

$25\sqrt3$ pulgadas cuadradas

$25\sqrt3$ sq. in.

$600$ pulgadas cuadradas

$600$ sq. in.

$300\sqrt3$ pulgadas cuadradas

$300\sqrt3$ sq. in.

Respuesta: A

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

El lado de un hexágono regular inscrito mide lo mismo que el radio del círculo

An inscribed regular hexagon has side length equal to the circle’s radius

Pista grande:

Divide el hexágono en seis triángulos equiláteros de lado $10$

Divide the hexagon into six equilateral triangles of side $10$

Solución:

El hexágono consta de seis triángulos equiláteros de lado $10.$ Su área es $6\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot10^2\right) =150\sqrt3$ pulgadas cuadradas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The hexagon consists of six equilateral triangles of side $10.$ Its area is $6\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot10^2\right) =150\sqrt3$ square inches.

Thus, the correct answer is A.

6.

El valor de $\left(\dfrac1{16}\right)^{a^0}+\left(\dfrac1{16a}\right)^0$ ${}-64^{-\frac{1}{2}}-(-32)^{-\frac{4}{5}}$ es:

The value of $\left(\dfrac1{16}\right)^{a^0}+\left(\dfrac1{16a}\right)^0$ ${}-64^{-\frac{1}{2}}-(-32)^{-\frac{4}{5}}$ is:

$1\dfrac{13}{16}$

$1\dfrac3{16}$

$1$

$\dfrac78$

$\dfrac1{16}$

Respuesta: D

Conceptos:exponente fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Evalúa por separado cada uno de los cuatro términos usando $a^0=1$

Evaluate each of the four terms separately, using $a^0=1$

Pista grande:

La quinta raíz real de $-32$ es $-2$ , por lo que $(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}$

The real fifth root of $-32$ is $-2$ , so $(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}$

Solución:

Para los valores admisibles de $a,$ los cuatro términos son $\frac1{16},\qquad 1,\qquad \frac18,\qquad \frac1{16}.$ Por lo tanto, la expresión es $\frac1{16}+1-\frac18-\frac1{16}=\frac78.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For permissible $a,$ the four terms are $\frac1{16},\qquad 1,\qquad \frac18,\qquad \frac1{16}.$ Therefore the expression is $\frac1{16}+1-\frac18-\frac1{16}=\frac78.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Un ama de casa ahorró $\$2.50$ al comprar un vestido en oferta. Si pagó $\$25$ por el vestido, ahorró aproximadamente:

A housewife saved $\$2.50$ in buying a dress on sale. If she spent $\$25$ for the dress, she saved about:

$8\%$

$9\%$

$10\%$

$11\%$

$12\%$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje dinero estimación

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Suma el ahorro al precio de oferta para recuperar el precio original

Add the savings to the sale price to recover the original price

Pista grande:

Calcula $\frac{2.50}{27.50}$ como porcentaje

Compute $\frac{2.50}{27.50}$ as a percentage

Solución:

El precio original era de $\$27.50.$ La fracción ahorrada fue $\frac{2.50}{27.50}=\frac1{11}\approx0.0909,$ es decir, aproximadamente $9\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The original price was $\$27.50.$ The fraction saved was $\frac{2.50}{27.50}=\frac1{11}\approx0.0909,$ or about $9\%.$

Thus, the correct answer is B.

8.

La base de un triángulo mide el doble que el lado de un cuadrado, y sus áreas son iguales. Entonces la razón entre la altura del triángulo y el lado del cuadrado es:

The base of a triangle is twice as long as a side of a square and their areas are the same. Then the ratio of the altitude of the triangle to the side of the square is:

$\dfrac14$

$\dfrac12$

$1$

$2$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo cuadrado (geometría)razón y proporción

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Sea $s$ el lado del cuadrado y $h$ la altura del triángulo

Let the square’s side be $s$ and the triangle’s altitude be $h$

Pista grande:

Iguala $s^2$ con $\tfrac12(2s)h$

Equate $s^2$ with $\tfrac12(2s)h$

Solución:

Si el lado del cuadrado es $s,$ la base del triángulo es $2s.$ La igualdad de áreas da $s^2=\frac12(2s)h=sh.$ Por lo tanto, $h=s,$ así que la razón pedida es $1.$

La respuesta correcta es C.

If the square side is $s,$ the triangle base is $2s.$ Equal areas give $s^2=\frac12(2s)h=sh.$ Thus $h=s,$ so the requested ratio is $1.$

The correct answer is C.

9.

Un punto $P$ está fuera de un círculo y a $13$ pulgadas de su centro. Una secante trazada desde $P$ corta el círculo en $Q$ y $R$ , de modo que el segmento exterior $\overline{PQ}$ mide $9$ pulgadas y $\overline{QR}$ mide $7$ pulgadas. El radio del círculo es:

A point $P$ is outside a circle and is $13$ inches from the center. A secant from $P$ cuts the circle at $Q$ and $R$ so that the external segment of the secant $\overline{PQ}$ is $9$ inches and $\overline{QR}$ is $7$ inches. The radius of the circle is:

$3$ pulgadas

$3$ in.

$4$ pulgadas

$4$ in.

$5$ pulgadas

$5$ in.

$6$ pulgadas

$6$ in.

$7$ pulgadas

$7$ in.

Respuesta: C

Conceptos:potencia de un punto círculo

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

La potencia de la secante es el producto de la longitud exterior por la longitud de la secante completa

The secant power is the external length times the whole secant length

Pista grande:

Iguala $9(9+7)$ con $13^2-r^2$

Equate $9(9+7)$ with $13^2-r^2$

Solución:

La potencia de $P$ es $PQ\cdot PR=9(16)=144.$ También es $13^2-r^2,$ así que $169-r^2=144.$ Por consiguiente, $r^2=25$ y $r=5$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The power of $P$ is $PQ\cdot PR=9(16)=144.$ It is also $13^2-r^2,$ so $169-r^2=144.$ Hence $r^2=25$ and $r=5$ inches.

Thus, the correct answer is C.

10.

La suma de los coeficientes numéricos en el desarrollo del binomio $(a+b)^6$ es:

The sum of the numerical coefficients in the expansion of the binomial $(a+b)^6$ is:

$32$

$16$

$64$

$48$

$7$

Respuesta: C

Conceptos:teorema del binomio

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

La suma de los coeficientes se obtiene eligiendo valores convenientes de $a$ y $b$

The coefficient sum is obtained by choosing convenient values of $a$ and $b$

Pista grande:

Haz $a=b=1$

Set $a=b=1$

Solución:

Al hacer $a=b=1$ , cada monomio vale $1,$ por lo que el valor del desarrollo es igual a la suma de sus coeficientes. Por lo tanto, la suma es $(1+1)^6=64.$

La respuesta correcta es C.

Setting $a=b=1$ makes every monomial equal to $1,$ so the value of the expansion equals the sum of its coefficients. Thus the sum is $(1+1)^6=64.$

The correct answer is C.

11.

Un comerciante exhibió varios vestidos, cada uno con un precio marcado. Luego colocó un letrero que decía: « $\dfrac13$ de descuento en estos vestidos». El costo de los vestidos era $\dfrac34$ del precio al que realmente los vendió. Entonces la razón entre el costo y el precio marcado era:

A merchant placed on display some dresses, each with a marked price. He then posted a sign “ $\dfrac13$ off on these dresses.” The cost of the dresses was $\dfrac34$ of the price at which he actually sold them. Then the ratio of the cost to the marked price was:

$\dfrac12$

$\dfrac13$

$\dfrac14$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

Respuesta: A

Conceptos:porcentaje dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

El precio de venta es $\frac{2}{3}$ del precio marcado

The selling price is $\frac{2}{3}$ of the marked price

Pista grande:

El costo es $\frac{3}{4}$ de ese precio de venta

The cost is $\frac{3}{4}$ of that selling price

Solución:

Si el precio marcado es $M,$ entonces el precio de venta es $\frac{2M}{3}.$ Por lo tanto, el costo es $\frac34\cdot\frac23M=\frac12M.$ La razón entre el costo y el precio marcado es $\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the marked price is $M,$ then the selling price is $\frac{2M}{3}.$ The cost is therefore $\frac34\cdot\frac23M=\frac12M.$ The cost-to-marked-price ratio is $\frac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

12.

La solución del sistema $\begin{aligned} 2x-3y&=7,\\ 4x-6y&=20 \end{aligned}$ es:

The solution of the equations $\begin{aligned} 2x-3y&=7,\\ 4x-6y&=20 \end{aligned}$ is:

$x=18,$ y $y=12$

$x=18,$ and $y=12$

$x=0,$ y $y=0$

$x=0,$ and $y=0$

no hay solución

There is no solution

hay una cantidad ilimitada de soluciones

There are an unlimited number of solutions

$x=8,$ y $y=5$

$x=8,$ and $y=5$

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Compara el segundo miembro izquierdo con el doble del primero

Compare the second left-hand side with twice the first

Pista grande:

Al duplicar la primera ecuación, el miembro derecho tendría que ser $14$ , no $20$

Doubling the first equation would require the right-hand side to be $14$ , not $20$

Solución:

El miembro izquierdo de la segunda ecuación es exactamente el doble del miembro izquierdo de la primera, pero su miembro derecho no es el doble de $7.$ Las ecuaciones exigirían que una misma expresión fuera igual tanto a $14$ como a $20,$ lo cual es imposible.

Por lo tanto, no hay solución y la respuesta correcta es C.

The left side of the second equation is exactly twice the left side of the first, but its right side is not twice $7.$ The equations would require the same expression to equal both $14$ and $20,$ which is impossible.

Thus, there is no solution, and the correct answer is C.

13.

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo. Si en los cuatro arcos determinados por los lados del cuadrilátero se inscriben ángulos sin que corten los lados entre vértices, su suma será:

A quadrilateral is inscribed in a circle. If angles are inscribed in the four arcs cut off by the sides of the quadrilateral, without intersecting the sides between vertices, their sum will be:

$180^\circ$

$540^\circ$

$360^\circ$

$450^\circ$

$1080^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:ángulo inscrito arco suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sean $a,b,c,d$ las medidas de los cuatro arcos consecutivos

Let the four consecutive arc measures be $a,b,c,d$

Pista grande:

Un ángulo cuyo vértice está en el arco de medida $a$ intercepta los otros tres arcos, cuya medida total es $360^\circ-a$

An angle whose vertex lies in the arc of measure $a$ intercepts the other three arcs, of total measure $360^\circ-a$

Solución:

Sean $a,b,c,d,$ las medidas de los cuatro arcos, cuya suma es $360^\circ.$ El ángulo situado en el arco de medida $a$ intercepta los otros tres arcos, por lo que mide $\frac{360^\circ-a}{2},$ y lo mismo ocurre con los demás. Su suma es $\begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the four arcs have measures $a,b,c,d,$ whose sum is $360^\circ.$ The angle placed in the arc of measure $a$ intercepts the other three arcs, so it measures $\frac{360^\circ-a}{2},$ and similarly for the others. Their sum is $\begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

14.

Al simplificar, $\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ es igual a:

When simplified $\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ equals:

$\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}$

$\dfrac{x^4-1}{2x^2}$

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2$

$\dfrac{x^2}{\sqrt2}$

$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}$

Respuesta: E

Conceptos:radical cuadrado perfecto manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Escribe $1$ con denominador $4x^4$

Put $1$ over the denominator $4x^4$

Pista grande:

El numerador se convierte en $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

The numerator becomes $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

Solución:

Para $x\ne0,$ $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}$ Como $x^2\gt0,$ su raíz cuadrada es $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $x\ne0,$ $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}$ Because $x^2\gt0,$ its square root is $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.$

Thus, the correct answer is E.

15.

$\log125$ es igual a:

$\log125$ equals:

$100\log1.25$

$5\log3$

$3\log25$

$3-3\log2$

$(\log25)(\log5)$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe $125=\frac{1000}{8}$

Write $125=\frac{1000}{8}$

Pista grande:

Usa $\log1000=3$ y $\log8=3\log2$

Use $\log1000=3$ and $\log8=3\log2$

Solución:

Usando las leyes de los logaritmos, $\begin{aligned} \log125 &=\log\left(\frac{1000}{8}\right)\\ &=3-\log(2^3)\\ &=3-3\log2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using logarithm laws, $\begin{aligned} \log125 &=\log\left(\frac{1000}{8}\right)\\ &=3-\log(2^3)\\ &=3-3\log2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

16.

Si $f(x)=5x^2-2x-1,$ entonces $f(x+h)-f(x)$ es igual a:

If $f(x)=5x^2-2x-1,$ then $f(x+h)-f(x)$ equals:

$5h^2-2h$

$10xh-4x+2$

$10xh-2x-2$

$h(10x+5h-2)$

$3h$

Respuesta: D

Conceptos:función polinomio factorización

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Sustituye $x+h$ en el polinomio antes de restar $f(x)$

Substitute $x+h$ into the polynomial before subtracting $f(x)$

Pista grande:

Después de cancelar, extrae el factor $h$

After cancellation, factor out $h$

Solución:

Al desarrollar y cancelar se obtiene $\begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2). \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expanding and canceling gives $\begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2). \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

17.

La gráfica de la función $f(x)=2x^3-7$ :

The graph of the function $f(x)=2x^3-7$ goes:

sube hacia la derecha y baja hacia la izquierda

up to the right and down to the left

baja hacia la derecha y sube hacia la izquierda

down to the right and up to the left

sube hacia la derecha y sube hacia la izquierda

up to the right and up to the left

baja hacia la derecha y baja hacia la izquierda

down to the right and down to the left

no se comporta de ninguna de estas maneras

none of these ways

Respuesta: A

Conceptos:polinomio función

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

La constante $-7$ desplaza la gráfica verticalmente, pero no cambia su comportamiento en los extremos

The constant $-7$ shifts the graph vertically but does not change its end behavior

Pista grande:

Un término principal positivo de grado impar tiende a $+\infty$ a la derecha y a $-\infty$ a la izquierda

A positive odd-degree leading term tends to $+\infty$ on the right and $-\infty$ on the left

Solución:

El término principal $2x^3$ determina el comportamiento en los extremos. Cuando $x$ tiende a $+\infty,$ $f(x)$ tiende a $+\infty;$ cuando $x$ tiende a $-\infty,$ $f(x)$ tiende a $-\infty.$ Por lo tanto, la gráfica sube hacia la derecha y baja hacia la izquierda.

La respuesta correcta es A.

The leading term $2x^3$ controls the end behavior. As $x$ tends to $+\infty,$ $f(x)$ tends to $+\infty;$ as $x$ tends to $-\infty,$ $f(x)$ tends to $-\infty.$ Thus the graph goes up to the right and down to the left.

The correct answer is A.

18.

De los siguientes conjuntos, el que incluye todos los valores de $x$ que satisfacen $2x-3\gt7-x$ es:

Of the following sets, the one that includes all values of $x$ which will satisfy $2x-3\gt7-x$ is:

$x\gt4$

$x\lt\dfrac{10}{3}$

$x=\dfrac{10}{3}$

$x\gt\dfrac{10}{3}$

$x\lt0$

Respuesta: D

Conceptos:desigualdad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Reúne los términos con $x$ en un lado y las constantes en el otro

Collect the $x$ -terms on one side and constants on the other

Pista grande:

Al sumar $x+3$ a ambos lados se obtiene $3x\gt10$

Adding $x+3$ to both sides gives $3x\gt10$

Solución:

Al sumar $x+3$ a ambos lados se obtiene $3x\gt10,$ por lo que $x\gt\frac{10}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding $x+3$ to both sides gives $3x\gt10,$ so $x\gt\frac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Si se unen los tres puntos de tangencia del círculo inscrito en un triángulo, los ángulos del triángulo resultante:

If the three points of contact of a circle inscribed in a triangle are joined, the angles of the resulting triangle:

siempre son iguales a $60^\circ$

are always equal to $60^\circ$

siempre son un ángulo obtuso y dos ángulos agudos desiguales

are always one obtuse angle and two unequal acute angles

siempre son un ángulo obtuso y dos ángulos agudos iguales

are always one obtuse angle and two equal acute angles

siempre son ángulos agudos

are always acute angles

siempre son desiguales entre sí

are always unequal to each other

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio ángulo inscrito círculo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Une el incentro con dos puntos de tangencia adyacentes

Join the incenter to two adjacent points of tangency

Pista grande:

El ángulo del triángulo de contacto opuesto al ángulo $A$ del triángulo original es $90^\circ-\frac{A}{2}$

The angle of the contact triangle opposite vertex angle $A$ is $90^\circ-\frac{A}{2}$

Solución:

Los radios trazados a dos puntos de tangencia adyacentes son perpendiculares a los lados correspondientes. El ángulo central entre esos radios es $180^\circ-A.$ El ángulo correspondiente del triángulo de contacto es la mitad del arco que intercepta, y resulta $90^\circ-\frac A2.$ Los otros dos ángulos son $90^\circ-\frac{B}{2}$ y $90^\circ-\frac{C}{2}.$ Como todo ángulo de un triángulo está estrictamente entre $0^\circ$ y $180^\circ,$ los tres son agudos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The radii to two adjacent tangency points are perpendicular to the corresponding sides. The central angle between those radii is $180^\circ-A.$ The relevant angle of the contact triangle is half the intercepted arc, giving $90^\circ-\frac A2.$ The other two angles are $90^\circ-\frac{B}{2}$ and $90^\circ-\frac{C}{2}.$ Since every triangle angle lies strictly between $0^\circ$ and $180^\circ,$ all three are acute.

Thus, the correct answer is D.

20.

La ecuación $x^3+6x^2+11x+6=0$ tiene:

The equation $x^3+6x^2+11x+6=0$ has:

ninguna raíz real negativa

no negative real roots

ninguna raíz real positiva

no positive real roots

ninguna raíz real

no real roots

$1$ raíz positiva y $2$ negativas

$1$ positive and $2$ negative roots

$2$ raíces positivas y $1$ negativa

$2$ positive and $1$ negative root

Respuesta: B

Conceptos:polinomio factorización propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Prueba los enteros negativos pequeños sugeridos por el término constante

Test the small negative integers suggested by the constant term

Pista grande:

El polinomio se factoriza como $(x+1)(x+2)(x+3)$

The polynomial factors as $(x+1)(x+2)(x+3)$

Solución:

El polinomio se factoriza como $\begin{gathered} x^3+6x^2+11x+6\\ =(x+1)(x+2)(x+3). \end{gathered}$ Sus raíces son $-1,-2,-3,$ así que no tiene raíces reales positivas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The polynomial factors as $\begin{gathered} x^3+6x^2+11x+6\\ =(x+1)(x+2)(x+3). \end{gathered}$ Its roots are $-1,-2,-3,$ so it has no positive real roots.

Thus, the correct answer is B.

21.

Las raíces de la ecuación $2\sqrt{x}+2x^{-\frac{1}{2}}=5$ se pueden hallar resolviendo:

The roots of the equation $2\sqrt{x}+2x^{-\frac{1}{2}}=5$ can be found by solving:

$16x^2-92x+1=0$

$4x^2-25x+4=0$

$4x^2-17x+4=0$

$2x^2-21x+2=0$

$4x^2-25x-4=0$

Respuesta: C

Conceptos:radical cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Multiplica por $\sqrt{x}$ para eliminar el exponente negativo

Multiply by $\sqrt{x}$ to remove the negative exponent

Pista grande:

Aísla el radical en $2x+2=5\sqrt{x}$ antes de elevar al cuadrado

Isolate the radical in $2x+2=5\sqrt{x}$ before squaring

Solución:

Al multiplicar por $\sqrt{x}$ se obtiene $2x+2=5\sqrt{x}.$ Al elevar al cuadrado y simplificar, $4x^2+8x+4=25x,$ así que $4x^2-17x+4=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Multiplying by $\sqrt{x}$ gives $2x+2=5\sqrt{x}.$ Squaring and simplifying, $4x^2+8x+4=25x,$ so $4x^2-17x+4=0.$

Thus, the correct answer is C.

22.

La expresión $\dfrac{2x^2-x}{(x+1)(x-2)}$ ${}-\dfrac{4+x}{(x+1)(x-2)}$ no se puede evaluar para $x=-1$ ni para $x=2,$ porque no se permite dividir entre cero. Para otros valores de $x:$

The expression $\dfrac{2x^2-x}{(x+1)(x-2)}$ ${}-\dfrac{4+x}{(x+1)(x-2)}$ cannot be evaluated for $x=-1$ or $x=2,$ since division by zero is not allowed. For other values of $x:$

La expresión toma muchos valores distintos.

The expression takes on many different values.

La expresión tiene únicamente el valor $2.$

The expression has only the value $2.$

La expresión tiene únicamente el valor $1.$

The expression has only the value $1.$

La expresión siempre tiene un valor entre $-1$ y $2.$

The expression always has a value between $-1$ and $2.$

La expresión tiene un valor mayor que $2$ o menor que $-1.$

The expression has a value greater than $2$ or less than $-1.$

Respuesta: B

Conceptos:factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Combina las dos fracciones sobre su denominador común

Combine the two fractions over their common denominator

Pista grande:

El numerador se factoriza como $2(x+1)(x-2)$

The numerator factors as $2(x+1)(x-2)$

Solución:

Al combinar los numeradores se obtiene $\begin{gathered} 2x^2-x-(4+x)\\ =2x^2-2x-4\\ =2(x+1)(x-2). \end{gathered}$ Para los valores permitidos $x\ne-1,2,$ los factores se cancelan y la expresión es igual a $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Combining the numerators gives $\begin{gathered} 2x^2-x-(4+x)\\ =2x^2-2x-4\\ =2(x+1)(x-2). \end{gathered}$ For the allowed values $x\ne-1,2,$ the factors cancel and the expression equals $2.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Si la ganancia sobre un artículo que cuesta $C$ dólares y se vende por $S$ dólares es $M=\dfrac1nC,$ entonces la ganancia está dada por:

If the margin made on an article costing $C$ dollars and selling for $S$ dollars is $M=\dfrac1nC,$ then the margin is given by:

$M=\dfrac1{n-1}S$

$M=\dfrac1nS$

$M=\dfrac n{n+1}S$

$M=\dfrac1{n+1}S$

$M=\dfrac n{n-1}S$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Usa $S=C+M$ junto con $M=\frac{C}{n}$

Use $S=C+M$ together with $M=\frac{C}{n}$

Pista grande:

Expresa $C$ en términos de $S$ y luego divide entre $n$

Express $C$ in terms of $S$ , then divide by $n$

Solución:

Como $S=C+M=C+\frac{C}{n},$ $\begin{aligned} S&=\frac{n+1}{n}C,\\ C&=\frac n{n+1}S. \end{aligned}$ Por lo tanto, $M=\frac Cn=\frac1{n+1}S.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $S=C+M=C+\frac{C}{n},$ $\begin{aligned} S&=\frac{n+1}{n}C,\\ C&=\frac n{n+1}S. \end{aligned}$ Therefore $M=\frac Cn=\frac1{n+1}S.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Los valores de $k$ para los cuales la ecuación $2x^2-kx+x+8=0$ tiene raíces reales e iguales son:

The values of $k$ for which the equation $2x^2-kx+x+8=0$ will have real and equal roots are:

$9$ y $-7$

$9$ and $-7$

solamente $-7$

only $-7$

$9$ y $7$

$9$ and $7$

$-9$ y $-7$

$-9$ and $-7$

solamente $9$

only $9$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Combina los términos lineales para escribir el coeficiente de $x$ como $1-k$

Combine the linear terms to write the coefficient of $x$ as $1-k$

Pista grande:

Iguala a cero el discriminante $(1-k)^2-64$

Set the discriminant $(1-k)^2-64$ equal to zero

Solución:

Una raíz real repetida exige que $(1-k)^2-4(2)(8)=0.$ Por lo tanto, $(1-k)^2=64,$ de modo que $1-k=\pm8.$ Los dos valores son $k=9$ y $k=-7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A repeated real root requires $(1-k)^2-4(2)(8)=0.$ Thus $(1-k)^2=64,$ so $1-k=\pm8.$ The two values are $k=9$ and $k=-7.$

Thus, the correct answer is A.

25.

Las dos raíces de la ecuación $\begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned}$ son $1$ y:

The two roots of the equation $\begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned}$ are $1$ and:

$\dfrac{b(c-a)}{a(b-c)}$

$\dfrac{a(b-c)}{c(a-b)}$

$\dfrac{a(b-c)}{b(c-a)}$

$\dfrac{c(a-b)}{a(b-c)}$

$\dfrac{c(a-b)}{b(c-a)}$

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Usa el producto de las raíces en lugar de resolver la cuadrática

Use the product of the roots rather than solving the quadratic

Pista grande:

El producto es el término constante dividido entre el coeficiente principal

The product is the constant coefficient divided by the leading coefficient

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, el producto de las dos raíces es $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}.$ Como una raíz es $1,$ la otra es igual a este producto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta’s formulas, the product of the two roots is $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}.$ Since one root is $1,$ the other root equals this product.

Thus, the correct answer is D.

26.

El segmento rectilíneo $AB$ queda dividido en $C$ de modo que $\overline{AC}=3\overline{CB}.$ Se trazan círculos cuyos diámetros son $\overline{AC}$ y $\overline{CB}$ , y una tangente común corta en $D$ la prolongación de $\overline{AB}$ . Entonces $\overline{BD}$ es igual a:

The straight line $AB$ is divided at $C$ so that $\overline{AC}=3\overline{CB}.$ Circles are described on $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ as diameters and a common tangent meets $\overline{AB}$ produced at $D.$ Then $\overline{BD}$ equals:

el diámetro del círculo menor

the diameter of the smaller circle

el radio del círculo menor

the radius of the smaller circle

el radio del círculo mayor

the radius of the larger circle

$\overline{CB}\sqrt3$

la diferencia de los dos radios

the difference of the two radii

Respuesta: B

Conceptos:circunferencias tangentes recta tangente homotecia

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

El punto $D$ es el centro exterior de homotecia de los dos círculos

The point $D$ is the external center of similitude of the two circles

Pista grande:

Sea $\overline{CB}=u$ y compara en la razón $3:1$ las distancias desde $D$ a los dos centros

Let $\overline{CB}=u$ and compare the distances from $D$ to the two centers in the ratio $3:1$

Solución:

Sea $\overline{CB}=u,$ de modo que $\overline{AC}=3u$ y $\overline{AB}=4u.$ Medidos desde $A,$ los centros de los círculos están en $\frac{3u}{2}$ y $\frac{7u}{2},$ y sus radios están en razón $3:1.$ Si $AD=z,$ la tangente exterior común hace que $D$ sea el centro exterior de homotecia, por lo que $\frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3.$ Así, $z=\frac{9u}{2},$ y $BD=z-4u=\frac u2,$ que es el radio del círculo menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\overline{CB}=u,$ so $\overline{AC}=3u$ and $\overline{AB}=4u.$ Measured from $A,$ the circle centers are at $\frac{3u}{2}$ and $\frac{7u}{2},$ and their radii are in the ratio $3:1.$ If $AD=z,$ the common external tangent makes $D$ the external center of similitude, so $\frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3.$ Hence $z=\frac{9u}{2},$ and $BD=z-4u=\frac u2,$ which is the radius of the smaller circle.

Thus, the correct answer is B.

27.

Un cono circular recto tiene como base un círculo del mismo radio que una esfera dada. El volumen del cono es la mitad del volumen de la esfera. La razón entre la altura del cono y el radio de su base es:

A right circular cone has for its base a circle having the same radius as a given sphere. The volume of the cone is one-half that of the sphere. The ratio of the altitude of the cone to the radius of its base is:

$\dfrac11$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac21$

$\sqrt{\dfrac54}$

Respuesta: D

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe ambos volúmenes usando su radio común $r$

Write both volumes using their common radius $r$

Pista grande:

Iguala $\frac13\pi r^2h$ con la mitad de $\frac43\pi r^3$

Set $\frac13\pi r^2h$ equal to half of $\frac43\pi r^3$

Solución:

La condición sobre los volúmenes es $\frac13\pi r^2h=\frac12\left(\frac43\pi r^3\right).$ Al cancelar los factores comunes se obtiene $h=2r,$ así que la razón pedida es $2:1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The volume condition is $\frac13\pi r^2h=\frac12\left(\frac43\pi r^3\right).$ Cancelling the common factors gives $h=2r,$ so the requested ratio is $2:1.$

Thus, the correct answer is D.

28.

Si $\dfrac mn=\dfrac43$ y $\dfrac rt=\dfrac9{14},$ el valor de $\dfrac{3mr-nt}{4nt-7mr}$ es:

If $\dfrac mn=\dfrac43$ and $\dfrac rt=\dfrac9{14},$ the value of $\dfrac{3mr-nt}{4nt-7mr}$ is:

$-5\dfrac12$

$-\dfrac{11}{14}$

$-1\dfrac14$

$\dfrac{11}{14}$

$-\dfrac23$

Respuesta: B

Conceptos:razón y proporción fracción sustitución

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Las razones dadas implican $mr:nt=(\frac{m}{n})(\frac{r}{t})$

The given ratios imply $mr:nt=(\frac{m}{n})(\frac{r}{t})$

Pista grande:

Escribe $mr=6k$ y $nt=7k$

Write $mr=6k$ and $nt=7k$

Solución:

Al multiplicar las dos razones dadas, $\frac{mr}{nt}=\frac43\cdot\frac9{14}=\frac67.$ Escribe $mr=6k$ y $nt=7k.$ Entonces $\begin{aligned} \frac{3mr-nt}{4nt-7mr} &=\frac{18k-7k}{28k-42k}\\ &=-\frac{11}{14}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying the two given ratios, $\frac{mr}{nt}=\frac43\cdot\frac9{14}=\frac67.$ Put $mr=6k$ and $nt=7k.$ Then $\begin{aligned} \frac{3mr-nt}{4nt-7mr} &=\frac{18k-7k}{28k-42k}\\ &=-\frac{11}{14}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

29.

Si la razón de los catetos de un triángulo rectángulo es $1:2,$ entonces la razón de los segmentos correspondientes en que la perpendicular trazada desde el vértice divide la hipotenusa es:

If the ratio of the legs of a right triangle is $1:2,$ then the ratio of the corresponding segments of the hypotenuse made by a perpendicular upon it from the vertex is:

$1:4$

$1:\sqrt2$

$1:2$

$1:\sqrt5$

$1:5$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo altura semejanza

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Los dos segmentos de la hipotenusa son las proyecciones de los catetos

The two hypotenuse segments are the projections of the legs

Pista grande:

Por semejanza, su razón es la razón de los cuadrados de los catetos correspondientes

By similarity, their ratio is the ratio of the squares of the corresponding legs

Solución:

Si los catetos tienen longitudes $a$ y $b,$ sus proyecciones sobre la hipotenusa miden $\frac{a^2}{c}$ y $\frac{b^2}{c}.$ Por lo tanto, su razón es $a^2:b^2.$ Como $a:b=1:2,$ esta razón es $1:4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the legs have lengths $a$ and $b,$ their projections on the hypotenuse have lengths $\frac{a^2}{c}$ and $\frac{b^2}{c}.$ Their ratio is therefore $a^2:b^2.$ With $a:b=1:2,$ this is $1:4.$

Thus, the correct answer is A.

30.

$A$ y $B$ juntos pueden hacer un trabajo en $2$ días; $B$ y $C$ , en cuatro días; y $A$ y $C$ , en $2\dfrac25$ días. El número de días que necesita $A$ para hacer el trabajo solo es:

$A$ and $B$ together can do a job in $2$ days; $B$ and $C$ can do it in four days; and $A$ and $C$ in $2\dfrac25$ days. The number of days required for $A$ to do the job alone is:

$1$

$3$

$6$

$12$

$2.8$

Respuesta: B

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Sean $a,b,c$ las fracciones del trabajo que cada persona completa por día

Let $a,b,c$ be the fractions of the job completed per day

Pista grande:

Suma $a+b=\frac{1}{2}$ y $a+c=\frac{5}{12}$ , y luego resta $b+c=\frac{1}{4}$

Add $a+b=\frac{1}{2}$ and $a+c=\frac{5}{12}$ , then subtract $b+c=\frac{1}{4}$

Solución:

Sean $a,b,c$ las tasas diarias individuales. Entonces $\begin{aligned} a+b&=\frac12,\\ b+c&=\frac14,\\ a+c&=\frac5{12}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} 2a&=(a+b)+(a+c)\\ &\quad{}-(b+c)\\ &=\frac12+\frac5{12}-\frac14\\ &=\frac23, \end{aligned}$ así que $a=\frac{1}{3}.$ Por consiguiente, $A$ necesita $3$ días.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a,b,c$ be the individual daily rates. Then $\begin{aligned} a+b&=\frac12,\\ b+c&=\frac14,\\ a+c&=\frac5{12}. \end{aligned}$ Thus $\begin{aligned} 2a&=(a+b)+(a+c)\\ &\quad{}-(b+c)\\ &=\frac12+\frac5{12}-\frac14\\ &=\frac23, \end{aligned}$ so $a=\frac{1}{3}.$ Therefore $A$ needs $3$ days.

Thus, the correct answer is B.

31.

En el triángulo $ABC,$ $\overline{AB}=\overline{AC},$ y $\angle A=40^\circ.$ El punto $O$ está dentro del triángulo y cumple $\angle OBC\cong\angle OCA.$ El número de grados del ángulo $BOC$ es:

In triangle $ABC,$ $\overline{AB}=\overline{AC},$ $\angle A=40^\circ.$ Point $O$ is within the triangle with $\angle OBC\cong\angle OCA.$ The number of degrees in angle $BOC$ is:

$110$

$35$

$140$

$55$

$70$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Los dos ángulos de la base del triángulo $ABC$ miden $70^\circ$

The base angles of triangle $ABC$ are both $70^\circ$

Pista grande:

Si los ángulos iguales miden $x,$ entonces la otra parte del ángulo $C$ mide $70^\circ-x$

If the equal angles are $x,$ then the other part of angle $C$ is $70^\circ-x$

Solución:

Los ángulos de la base del triángulo isósceles son $\angle ABC=\angle BCA=70^\circ.$ Sea $\angle OBC=\angle OCA=x.$ Entonces $\angle OCB=70^\circ-x.$ En el triángulo $BOC,$ $\begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The base angles of the isosceles triangle are $\angle ABC=\angle BCA=70^\circ.$ Put $\angle OBC=\angle OCA=x.$ Then $\angle OCB=70^\circ-x.$ In triangle $BOC,$ $\begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

32.

Los factores de $x^4+64$ son:

The factors of $x^4+64$ are:

$(x^2+8)^2$

$(x^2+8)(x^2-8)$

$(x^2+2x+4)(x^2-8x+16)$

$(x^2-4x+8)(x^2-4x-8)$

$(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)$

Respuesta: E

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Suma y resta $16x^2$ para formar una diferencia de cuadrados

Add and subtract $16x^2$ to form a difference of squares

Pista grande:

Escribe $x^4+64=(x^2+8)^2-(4x)^2$

Write $x^4+64=(x^2+8)^2-(4x)^2$

Solución:

Usando una diferencia de cuadrados, $\begin{aligned} x^4+64 &=(x^2+8)^2-16x^2\\ &=(x^2-4x+8)\\ &\quad{}\cdot(x^2+4x+8). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using a difference of squares, $\begin{aligned} x^4+64 &=(x^2+8)^2-16x^2\\ &=(x^2-4x+8)\\ &\quad{}\cdot(x^2+4x+8). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

33.

Un banco cobra $\$6$ por un préstamo de $\$120.$ El prestatario recibe $\$114$ y paga el préstamo en $12$ cuotas mensuales de $\$10$ . La tasa de interés es aproximadamente:

A bank charges $\$6$ for a loan of $\$120.$ The borrower receives $\$114$ and repays the loan in $12$ installments of $\$10$ a month. The interest rate is approximately:

$5\%$

$6\%$

$7\%$

$9\%$

$15\%$

Respuesta: D

Conceptos:dinero porcentaje media

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El cargo de $\$6$ es el interés sobre un saldo que disminuye $\$10$ cada mes

The $\$6$ charge is interest on a balance that decreases by $\$10$ each month

Pista grande:

Aproxima el capital pendiente promedio mediante el promedio de $\$120$ y $\$10$

Approximate the average outstanding principal by the average of $\$120$ and $\$10$

Solución:

El saldo disminuye en pasos iguales de $\$10$ , desde $\$120$ hasta $\$10,$ por lo que su valor pendiente promedio es aproximadamente $\frac{120+10}{2}=65.$ Por lo tanto, el cargo anual es de aproximadamente $\frac6{65}\cdot100\%\approx9.2\%.$ La opción más cercana es $9\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The balance decreases in equal $\$10$ steps from $\$120$ to $\$10,$ so its average outstanding value is approximately $\frac{120+10}{2}=65.$ The annual charge is therefore about $\frac6{65}\cdot100\%\approx9.2\%.$ The nearest choice is $9\%.$

Thus, the correct answer is D.

34.

La fracción $\dfrac13:$

The fraction $\dfrac13:$

es igual a $0.33333333$

equals $0.33333333$

es menor que $0.33333333$ por $\dfrac1{3\cdot10^8}$

is less than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^8}$

es menor que $0.33333333$ por $\dfrac1{3\cdot10^9}$

is less than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^9}$

es mayor que $0.33333333$ por $\dfrac1{3\cdot10^8}$

is greater than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^8}$

es mayor que $0.33333333$ por $\dfrac1{3\cdot10^9}$

is greater than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^9}$

Respuesta: D

Conceptos:decimal fracción valor posicional

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe $0.33333333$ como $\frac{33333333}{10^8}$

Write $0.33333333$ as $\frac{33333333}{10^8}$

Pista grande:

Resta este decimal finito de $\frac{1}{3}$ usando el denominador $3\cdot10^8$

Subtract this terminating decimal from $\frac{1}{3}$ using the denominator $3\cdot10^8$

Solución:

Exactamente, $\begin{gathered} \frac13-\frac{33333333}{10^8}\\ =\frac{10^8-3(33333333)} {3\cdot10^8}\\ =\frac1{3\cdot10^8}. \end{gathered}$ Por lo tanto, $\frac{1}{3}$ es mayor por la cantidad indicada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Exactly, $\begin{gathered} \frac13-\frac{33333333}{10^8}\\ =\frac{10^8-3(33333333)} {3\cdot10^8}\\ =\frac1{3\cdot10^8}. \end{gathered}$ Thus $\frac{1}{3}$ is greater by the stated amount.

Thus, the correct answer is D.

35.

En el triángulo rectángulo mostrado, la suma de las distancias $\overline{BM}$ y $\overline{MA}$ es igual a la suma de las distancias $\overline{BC}$ y $\overline{CA}.$ Si $\overline{MB}=x,$ $\overline{CB}=h,$ y $\overline{CA}=d,$ entonces $x$ es igual a:

In the right triangle shown the sum of the distances $\overline{BM}$ and $\overline{MA}$ is equal to the sum of the distances $\overline{BC}$ and $\overline{CA}.$ If $\overline{MB}=x,$ $\overline{CB}=h,$ and $\overline{CA}=d,$ then $x$ equals:

$\dfrac{hd}{2h+d}$

$d-h$

$\dfrac12d$

$h+d-\sqrt{2d}$

$\sqrt{h^2+d^2}-h$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras radical

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Usa el teorema de Pitágoras para expresar $\overline{MA}$ en términos de $d,h,x$

Use the Pythagorean theorem to express $\overline{MA}$ in terms of $d,h,x$

Pista grande:

A partir de $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,$ aísla el radical y eleva al cuadrado

From $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,$ isolate the radical and square

Solución:

La condición y el teorema de Pitágoras dan $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.$ Después de aislar el radical y elevar al cuadrado, $d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.$ Al cancelar los términos comunes queda $4hx+2dx=2hd,$ por lo que $x=\frac{hd}{2h+d}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The condition and the Pythagorean theorem give $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.$ After isolating the radical and squaring, $d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.$ Cancelling common terms leaves $4hx+2dx=2hd,$ so $x=\frac{hd}{2h+d}.$

Thus, the correct answer is A.

36.

Un bote tiene una velocidad de $15$ millas por hora en aguas tranquilas. En una corriente de $5$ millas por hora, recorre cierta distancia río abajo y regresa. La razón entre la velocidad promedio del viaje de ida y vuelta y la velocidad en aguas tranquilas es:

A boat has a speed of $15$ mph in still water. In a stream that has a current of $5$ mph it travels a certain distance downstream and returns. The ratio of the average speed for the round trip to the speed in still water is:

$\dfrac54$

$\dfrac11$

$\dfrac89$

$\dfrac78$

$\dfrac98$

Respuesta: C

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo velocidad relativa media armónica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Las velocidades río abajo y río arriba son $20$ y $10$ millas por hora

The downstream and upstream speeds are $20$ mph and $10$ mph

Pista grande:

Para distancias iguales, divide el doble de la distancia entre $\frac{d}{20}+\frac{d}{10}$

For equal distances, divide twice the distance by $\frac{d}{20}+\frac{d}{10}$

Solución:

Para una distancia de ida $d,$ el tiempo total es $\frac d{20}+\frac d{10}=\frac{3d}{20}.$ Por lo tanto, la velocidad promedio de ida y vuelta es $\frac{2d}{\frac{3d}{20}}=\frac{40}{3}.$ Su razón con $15$ es $\frac{\frac{40}{3}}{15}=\frac89.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a one-way distance $d,$ the total time is $\frac d{20}+\frac d{10}=\frac{3d}{20}.$ Thus the round-trip average speed is $\frac{2d}{\frac{3d}{20}}=\frac{40}{3}.$ Its ratio to $15$ is $\frac{\frac{40}{3}}{15}=\frac89.$

Thus, the correct answer is C.

37.

Dado el triángulo $PQR$ , donde $\overline{RS}$ biseca $\angle R,$ $\overline{PQ}$ se prolonga hasta $D,$ y $\angle n$ es recto, entonces:

Given triangle $PQR$ with $\overline{RS}$ bisecting $\angle R,$ $\overline{PQ}$ extended to $D,$ and $\angle n$ a right angle, then:

$\angle m=\dfrac12(\angle p-\angle q)$

$\angle m=\dfrac12(\angle p+\angle q)$

$\angle d=\dfrac12(\angle q+\angle p)$

$\angle d=\dfrac12\angle m$

ninguna de las anteriores es correcta

none of these is correct

Respuesta: B

Conceptos:bisectriz persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Antes de bisecarse, el ángulo en $R$ mide $180^\circ-\angle p-\angle q$

The bisected angle at $R$ measures $180^\circ-\angle p-\angle q$ before it is halved

Pista grande:

Como la transversal es perpendicular a la bisectriz, $\angle m$ complementa la mitad de $\angle R$

Since the transversal is perpendicular to the angle bisector, $\angle m$ complements half of $\angle R$

Solución:

El ángulo en $R$ es $180^\circ-\angle p-\angle q.$ Como $\overline{RS}$ biseca este ángulo, el ángulo entre $\overline{PR}$ y $\overline{RS}$ es $90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q).$ La recta que forma $\angle m$ es perpendicular a $\overline{RS},$ por lo que $\angle m=\frac12(\angle p+\angle q).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The angle at $R$ is $180^\circ-\angle p-\angle q.$ Because $\overline{RS}$ bisects this angle, the angle between $\overline{PR}$ and $\overline{RS}$ is $90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q).$ The line forming $\angle m$ is perpendicular to $\overline{RS},$ so $\angle m=\frac12(\angle p+\angle q).$

Thus, the correct answer is B.

38.

Si $\log 2=0.3010$ y $\log 3=0.4771,$ el valor aproximado de $x$ cuando $3^{x+3}=135$ es:

If $\log 2=0.3010$ and $\log 3=0.4771,$ the value of $x$ when $3^{x+3}=135$ is approximately:

$5$

$1.47$

$1.67$

$1.78$

$1.63$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo exponente estimación

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Divide entre $3^3$ para obtener $3^x=5$

Divide by $3^3$ to obtain $3^x=5$

Pista grande:

Usa $\log5=1-\log2$ y divide entre $\log3$

Use $\log5=1-\log2$ and divide by $\log3$

Solución:

La ecuación se reduce a $3^x=5,$ así que $\begin{aligned} x&=\frac{\log5}{\log3}\\ &=\frac{1-\log2}{\log3}\\ &=\frac{0.6990}{0.4771}\\ &\approx1.47. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation reduces to $3^x=5,$ so $\begin{aligned} x&=\frac{\log5}{\log3}\\ &=\frac{1-\log2}{\log3}\\ &=\frac{0.6990}{0.4771}\\ &\approx1.47. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

39.

El lugar geométrico del punto medio de un segmento trazado desde un punto exterior fijo $P$ hasta un círculo dado de centro $O$ y radio $r,$ es:

The locus of the midpoint of a line segment that is drawn from a given external point $P$ to a given circle with center $O$ and radius $r,$ is:

una recta perpendicular a $\overline{PO}$

a straight line perpendicular to $\overline{PO}$

una recta paralela a $\overline{PO}$

a straight line parallel to $\overline{PO}$

un círculo de centro $P$ y radio $r$

a circle with center $P$ and radius $r$

un círculo con centro en el punto medio de $\overline{PO}$ y radio $2r$

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $2r$

un círculo con centro en el punto medio de $\overline{PO}$ y radio $\dfrac12r$

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $\dfrac12r$

Respuesta: E

Conceptos:transformación punto medio círculo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $X$ el extremo variable sobre el círculo dado y sea $M$ su punto medio con $P$

Let the variable endpoint on the given circle be $X$ and its midpoint with $P$ be $M$

Pista grande:

La transformación $X\mapsto M$ es una homotecia de centro $P$ y razón $\frac{1}{2}$

The map $X\mapsto M$ is a dilation centered at $P$ with scale factor $\frac{1}{2}$

Solución:

Cuando el extremo $X$ se mueve sobre el círculo de centro $O,$ su punto medio $M$ con el punto fijo $P$ es la imagen de $X$ bajo una homotecia de razón $\frac{1}{2}$ y centro $P.$ Por lo tanto, el lugar geométrico es un círculo cuyo centro es el punto medio de $\overline{PO}$ y cuyo radio es $\frac{r}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As the endpoint $X$ moves on the circle centered at $O,$ its midpoint $M$ with the fixed point $P$ is the image of $X$ under a dilation of scale $\frac{1}{2}$ centered at $P.$ Therefore the locus is a circle whose center is the midpoint of $\overline{PO}$ and whose radius is $\frac{r}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

40.

Si $\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,$ entonces $a^3+\dfrac1{a^3}$ es igual a:

If $\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,$ then $a^3+\dfrac1{a^3}$ equals:

$\dfrac{10\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$0$

$7\sqrt7$

$6\sqrt3$

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica suma y diferencia de cubos sustitución

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sea $t=a+\frac{1}{a}$ ; entonces la condición dada es $t^2=3$

Set $t=a+\frac{1}{a}$ , so the given condition is $t^2=3$

Pista grande:

Usa $a^3+a^{-3}=t^3-3t$

Use $a^3+a^{-3}=t^3-3t$

Solución:

Sea $t=a+\frac{1}{a}.$ La identidad cúbica estándar da $a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).$ Como $t^2=3,$ esta expresión es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $t=a+\frac{1}{a}.$ The standard cubic identity gives $a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).$ Since $t^2=3,$ this expression is $0.$

Thus, the correct answer is C.

41.

La suma de todas las raíces de $4x^3-8x^2-63x-9=0$ es:

The sum of all the roots of $4x^3-8x^2-63x-9=0$ is:

$8$

$2$

$-8$

$-2$

$0$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Usa la fórmula de Vieta para la suma de las raíces de una cúbica

Use Vieta’s formula for the sum of the roots of a cubic

Pista grande:

Cambia el signo del coeficiente de $x^2$ y divide entre el coeficiente de $x^3$

Negate the coefficient of $x^2$ and divide by the coefficient of $x^3$

Solución:

Para $ax^3+bx^2+\cdots=0,$ la suma de las raíces es $-\frac{b}{a}.$ En este caso es $-\frac{-8}{4}=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $ax^3+bx^2+\cdots=0,$ the sum of the roots is $-\frac{b}{a}.$ Here it is $-\frac{-8}{4}=2.$

Thus, the correct answer is B.

42.

Considera en el mismo sistema de ejes las gráficas de $(1)$ $y=x^2-\dfrac12x+2$ y $(2)$ $y=x^2+\dfrac12x+2$ . Estas parábolas tienen exactamente la misma forma. Entonces:

Consider the graphs of $(1)$ $y=x^2-\dfrac12x+2$ and $(2)$ $y=x^2+\dfrac12x+2$ on the same set of axes. These parabolas have exactly the same shape. Then:

las gráficas coinciden.

the graphs coincide.

la gráfica de $(1)$ está más abajo que la de $(2).$

the graph of $(1)$ is lower than the graph of $(2).$

la gráfica de $(1)$ está a la izquierda de la de $(2).$

the graph of $(1)$ is to the left of the graph of $(2).$

la gráfica de $(1)$ está a la derecha de la de $(2).$

the graph of $(1)$ is to the right of the graph of $(2).$

la gráfica de $(1)$ está más arriba que la de $(2).$

the graph of $(1)$ is higher than the graph of $(2).$

Respuesta: D

Conceptos:parábola completar el cuadrado transformación

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Calcula la coordenada $x$ de cada vértice usando $-\frac{b}{2a}$

Find the $x$ -coordinate of each vertex using $-\frac{b}{2a}$

Pista grande:

La gráfica $(1)$ tiene su vértice en $x=\frac{1}{4}$ , mientras que la gráfica $(2)$ lo tiene en $x=-\frac{1}{4}$

Graph $(1)$ has vertex $x=\frac{1}{4}$ , whereas graph $(2)$ has vertex $x=-\frac{1}{4}$

Solución:

El vértice de $y=x^2+bx+2$ tiene coordenada $x$ igual a $-\frac{b}{2}.$ Por lo tanto, la gráfica $(1)$ tiene su vértice en $x=\frac{1}{4},$ mientras que la gráfica $(2)$ lo tiene en $x=-\frac{1}{4}.$ Las alturas de sus vértices son iguales, así que la gráfica $(1)$ es la misma parábola desplazada hacia la derecha.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertex of $y=x^2+bx+2$ has $x$ -coordinate $-\frac{b}{2}.$ Thus graph $(1)$ has its vertex at $x=\frac{1}{4},$ while graph $(2)$ has its vertex at $x=-\frac{1}{4}.$ Their vertex heights are equal, so graph $(1)$ is the same parabola shifted to the right.

Thus, the correct answer is D.

43.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $10$ pulgadas y el radio del círculo inscrito mide $1$ pulgada. El perímetro del triángulo, en pulgadas, es:

The hypotenuse of a right triangle is $10$ inches and the radius of the inscribed circle is $1$ inch. The perimeter of the triangle in inches is:

$15$

$22$

$24$

$26$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencia inscrita, incentro e inradio perímetro

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Para un triángulo rectángulo con catetos $a,b$ e hipotenusa $c,$ el inradio es $\frac{a+b-c}{2}$

For a right triangle with legs $a,b$ and hypotenuse $c,$ the inradius is $\frac{a+b-c}{2}$

Pista grande:

Sustituye $r=1$ y $c=10$ para hallar $a+b$

Substitute $r=1$ and $c=10$ to find $a+b$

Solución:

Para un triángulo rectángulo, $r=\frac{a+b-c}{2}.$ Con $r=1$ y $c=10,$ se obtiene $a+b=12.$ Por consiguiente, el perímetro es $a+b+c=12+10=22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For a right triangle, $r=\frac{a+b-c}{2}.$ With $r=1$ and $c=10,$ this gives $a+b=12.$ Hence the perimeter is $a+b+c=12+10=22.$

Thus, the correct answer is B.

44.

Un hombre nacido en la primera mitad del siglo XIX tenía $x$ años en el año $x^2.$ Nació en:

A man born in the first half of the nineteenth century was $x$ years old in the year $x^2.$ He was born in:

$1849$

$1825$

$1812$

$1836$

$1806$

Respuesta: E

Conceptos:edades cuadrado perfecto fecha y hora

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Su año de nacimiento es $x^2-x$

His birth year is $x^2-x$

Pista grande:

Usa el requisito de que $x^2$ sea un año del siglo XIX y prueba el entero cercano $x$

Use the requirement that $x^2$ is a nineteenth-century year and test the nearby integer $x$

Solución:

El año $x^2$ debe estar en el siglo XIX, así que $x=43$ , porque $43^2=1849$ , mientras que los cuadrados vecinos quedan fuera del intervalo pertinente. Por lo tanto, su año de nacimiento es $x^2-x=1849-43=1806,$ que está en la primera mitad del siglo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The year $x^2$ must lie in the nineteenth century, so $x=43$ because $43^2=1849$ while the neighboring squares fall outside the relevant range. His birth year is therefore $x^2-x=1849-43=1806,$ which is in the first half of the century.

Thus, the correct answer is E.

45.

En un rombo $ABCD,$ se trazan dentro del rombo segmentos paralelos a la diagonal $\overline{BD},$ con extremos en los lados del rombo. Se dibuja una gráfica que muestra la longitud de un segmento como función de su distancia al vértice $A.$ La gráfica es:

In a rhombus $ABCD,$ line segments are drawn within the rhombus, parallel to diagonal $\overline{BD},$ and terminated in the sides of the rhombus. A graph is drawn showing the length of a segment as a function of its distance from vertex $A.$ The graph is:

una recta que pasa por el origen.

a straight line passing through the origin.

una recta que atraviesa el cuadrante superior derecho.

a straight line cutting across the upper right quadrant.

dos segmentos que forman una $V$ derecha

two line segments forming an upright $V.$

dos segmentos que forman una $V$ invertida

two line segments forming an inverted $V.$

ninguna de las anteriores.

none of these.

Respuesta: D

Conceptos:rombo diagonal interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Imagina que un segmento paralelo a $\overline{BD}$ se mueve desde $A$ hacia el vértice opuesto

Imagine moving a segment parallel to $\overline{BD}$ from $A$ toward the opposite vertex

Pista grande:

Su longitud aumenta linealmente hasta alcanzar la diagonal completa y luego disminuye linealmente hasta cero

Its length grows linearly to the full diagonal and then decreases linearly to zero

Solución:

Al comenzar en $A,$ la sección paralela tiene longitud $0$ y crece linealmente hasta alcanzar la diagonal $\overline{BD}.$ Al continuar hacia el vértice opuesto, su longitud disminuye linealmente hasta volver a $0.$ Por lo tanto, la gráfica consta de dos segmentos que forman una $V$ invertida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Starting at $A,$ the parallel cross section has length $0$ and grows linearly until it reaches the diagonal $\overline{BD}.$ Continuing toward the opposite vertex, its length decreases linearly back to $0.$ The graph is therefore made of two line segments forming an inverted $V.$

Thus, the correct answer is D.

46.

En el diagrama, si los puntos $A,$ $B,$ y $C$ son puntos de tangencia, entonces $x$ es igual a:

In the diagram, if points $A,$ $B,$ and $C$ are points of tangency, then $x$ equals:

$\dfrac3{16}\text{ pulgadas}$

$\dfrac3{16}\text{ in.}$

$\dfrac18\text{ pulgadas}$

$\dfrac18\text{ in.}$

$\dfrac1{32}\text{ pulgadas}$

$\dfrac1{32}\text{ in.}$

$\dfrac3{32}\text{ pulgadas}$

$\dfrac3{32}\text{ in.}$

$\dfrac1{16}\text{ pulgadas}$

$\dfrac1{16}\text{ in.}$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencias tangentes bisectriz triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La medida marcada de $\frac{3}{8}$ de pulgada es el diámetro del círculo

The marked $\frac{3}{8}$ -inch measure is the circle’s diameter

Pista grande:

Con radio $\frac{3}{16},$ el centro está $\frac{3}{8}$ de pulgada por encima del vértice de $60^\circ$ , porque $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

With radius $\frac{3}{16},$ the center is $\frac{3}{8}$ inch above the $60^\circ$ vertex because $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

Solución:

El radio mide $\frac{3}{16}$ de pulgada. El centro está sobre la bisectriz. El radio perpendicular a cualquiera de los lados inclinados y el segmento del vértice al centro forman un triángulo rectángulo con un ángulo de $30^\circ$ , por lo que el centro está $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ de pulgada por encima del vértice. Así, la tangente superior está $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ de pulgada por encima del vértice. Como la recta horizontal inferior está $\frac{1}{2}$ pulgada por encima del vértice, $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ pulgadas}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The radius is $\frac{3}{16}$ inch. The center lies on the angle bisector. The perpendicular radius to either sloping side and the segment from the vertex to the center form a right triangle with a $30^\circ$ angle, so the center is $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ inch above the vertex. Hence the top tangent is $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ inch above the vertex. Since the ledge is $\frac{1}{2}$ inch above the vertex, $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ in.}$

Thus, the correct answer is E.

47.

En el punto medio del segmento $\overline{AB}$ , que mide $p$ unidades, se levanta una perpendicular $\overline{MR}$ de longitud $q$ unidades. Con centro en $R$ se traza un arco de radio igual a $\dfrac12\overline{AB},$ que corta $\overline{AB}$ en $T.$ Entonces $\overline{AT}$ y $\overline{TB}$ son las raíces de:

At the midpoint of line segment $\overline{AB}$ which is $p$ units long, a perpendicular $\overline{MR}$ is erected with length $q$ units. An arc is described from $R$ with a radius equal to $\dfrac12\overline{AB},$ meeting $\overline{AB}$ at $T.$ Then $\overline{AT}$ and $\overline{TB}$ are the roots of:

$x^2+px+q^2=0$

$x^2-px+q^2=0$

$x^2+px-q^2=0$

$x^2-px-q^2=0$

$x^2-px+q=0$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras Fórmulas de Vieta círculo

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La suma $\overline{AT}+\overline{TB}$ es $p$

The sum $\overline{AT}+\overline{TB}$ is $p$

Pista grande:

Usa $RT=\frac{p}{2}=AM$ en el triángulo rectángulo $RMT$ para demostrar que $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

Use $RT=\frac{p}{2}=AM$ in right triangle $RMT$ to show $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

Solución:

Sea $MT=t.$ Como $AM=BM=RT=\frac{p}{2},$ el teorema de Pitágoras da $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}.$ Además, $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t.$ Su suma es $p,$ y su producto es $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2.$ Por lo tanto, son las raíces de $x^2-px+q^2=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $MT=t.$ Since $AM=BM=RT=\frac{p}{2},$ the Pythagorean theorem gives $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}.$ Also, $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t.$ Their sum is $p,$ and their product is $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2.$ Therefore they are the roots of $x^2-px+q^2=0.$

Thus, the correct answer is B.

48.

Una hora después de salir, un tren sufre un accidente que lo demora media hora; después continúa a $\dfrac34$ de su velocidad anterior y llega con $3\dfrac12$ horas de retraso. Si el accidente hubiera ocurrido $90$ millas más adelante, habría llegado con solo $3$ horas de retraso. La longitud del viaje, en millas, era:

A train, an hour after starting, meets with an accident which detains it a half hour, after which it proceeds at $\dfrac34$ of its former rate and arrives $3\dfrac12$ hours late. Had the accident happened $90$ miles farther along the line, it would have arrived only $3$ hours late. The length of the trip in miles was:

$400$

$465$

$600$

$640$

$550$

Respuesta: C

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo velocidad relativa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sean $v$ la velocidad normal y $L$ la longitud del viaje; reducir la velocidad a $\frac{3v}{4}$ añade un tercio del tiempo normal en la distancia afectada

Let the normal speed be $v$ and the trip length be $L$ ; slowing to $\frac{3v}{4}$ adds one-third of the normal time on the affected distance

Pista grande:

Usa las dos ecuaciones del retraso para hallar primero $\frac{L}{v}$ y luego $\frac{90}{v}$

Use the two late-arrival equations to find first $\frac{L}{v}$ , then $\frac{90}{v}$

Solución:

Sean $v$ la velocidad normal y $L$ la longitud del viaje. Recorrer una distancia a $\frac{3v}{4}$ en vez de a $v$ añade un tercio de su tiempo normal de recorrido. En el primer caso, $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1\right)=\frac72,$ por lo que $\frac{L}{v}=10.$ Si el accidente ocurre $90$ millas más adelante, $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1-\frac{90}{v}\right)=3.$ Al sustituir $\frac{L}{v}=10$ , se obtiene $\frac{90}{v}=\frac{3}{2},$ de donde $v=60$ y $L=10v=600.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the normal speed be $v$ and the trip length be $L.$ Traveling a distance at $\frac{3v}{4}$ rather than $v$ adds one-third of its normal travel time. In the first case, $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1\right)=\frac72,$ so $\frac{L}{v}=10.$ If the accident happens $90$ miles farther along, $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1-\frac{90}{v}\right)=3.$ Substituting $\frac{L}{v}=10$ gives $\frac{90}{v}=\frac{3}{2},$ hence $v=60$ and $L=10v=600.$

Thus, the correct answer is C.

49.

La diferencia de los cuadrados de dos números impares siempre es divisible entre $8.$ Si $a>b,$ y los números impares son $2a+1$ y $2b+1$ , para demostrar la afirmación dada escribimos la diferencia de los cuadrados en la forma:

The difference of the squares of two odd numbers is always divisible by $8.$ If $a>b,$ and $2a+1$ and $2b+1$ are the odd numbers, to prove the given statement we put the difference of the squares in the form:

$(2a+1)^2-(2b+1)^2$

$4a^2-4b^2+4a-4b$

$4[a(a+1)-b(b+1)]$

$4(a-b)(a+b+1)$

$4(a^2+a-b^2-b)$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad paridad factorización

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Desarrolla los dos cuadrados y agrupa cada variable con su sucesor

Expand the two squares and group each variable with its successor

Pista grande:

Cada uno de los productos $a(a+1)$ y $b(b+1)$ es par

Each product $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even

Solución:

Al desarrollar y reagrupar, $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned}$ Tanto $a(a+1)$ como $b(b+1)$ son pares, así que su diferencia es par. Por consiguiente, la expresión mostrada es divisible entre $4\cdot2=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding and regrouping, $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned}$ Each of $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even, so their difference is even. The displayed expression is consequently divisible by $4\cdot2=8.$

Thus, the correct answer is C.

50.

Las horas entre las $7$ y las $8$ en que las manecillas de un reloj forman un ángulo de $84$ grados, redondeadas al minuto más cercano, son:

The times between $7$ and $8$ o’clock, correct to the nearest minute, when the hands of a clock will form an angle of $84$ degrees are:

$7{:}23$ y $7{:}53$

$7{:}23$ and $7{:}53$

$7{:}20$ y $7{:}50$

$7{:}20$ and $7{:}50$

$7{:}22$ y $7{:}53$

$7{:}22$ and $7{:}53$

$7{:}23$ y $7{:}52$

$7{:}23$ and $7{:}52$

$7{:}21$ y $7{:}49$

$7{:}21$ and $7{:}49$

Respuesta: A

Conceptos:reloj ecuación lineal estimación

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

A los $t$ minutos después de las $7{:}00,$ la separación con signo entre las manecillas es $210^\circ-5.5t^\circ$

At $t$ minutes after $7{:}00,$ the signed separation of the hands is $210^\circ-5.5t^\circ$

Pista grande:

Resuelve $\lvert210-5.5t\rvert=84$ para obtener ambos valores de $t$

Solve $\lvert210-5.5t\rvert=84$ for both values of $t$

Solución:

A los $t$ minutos después de las $7{:}00,$ la manecilla de la hora está en $210^\circ+0.5t^\circ$ y la de los minutos en $6t^\circ.$ Por lo tanto, $|210-5.5t|=84.$ Las dos soluciones son $\begin{aligned} t&=\frac{126}{5.5}\approx22.91,\\ t&=\frac{294}{5.5}\approx53.45. \end{aligned}$ Al minuto más cercano, las horas son $7{:}23$ y $7{:}53.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At $t$ minutes after $7{:}00,$ the hour hand is at $210^\circ+0.5t^\circ$ and the minute hand is at $6t^\circ.$ Thus $|210-5.5t|=84.$ The two solutions are $\begin{aligned} t&=\frac{126}{5.5}\approx22.91,\\ t&=\frac{294}{5.5}\approx53.45. \end{aligned}$ To the nearest minute, the times are $7{:}23$ and $7{:}53.$

Thus, the correct answer is A.

Problemas del 1954 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande: