Question

La diferencia de los cuadrados de dos números impares siempre es divisible entre $8.$ Si $a>b,$ y los números impares son $2a+1$ y $2b+1$ , para demostrar la afirmación dada escribimos la diferencia de los cuadrados en la forma:

The difference of the squares of two odd numbers is always divisible by $8.$ If $a>b,$ and $2a+1$ and $2b+1$ are the odd numbers, to prove the given statement we put the difference of the squares in the form:

$(2a+1)^2-(2b+1)^2$

$4a^2-4b^2+4a-4b$

$4[a(a+1)-b(b+1)]$

$4(a-b)(a+b+1)$

$4(a^2+a-b^2-b)$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad paridad factorización

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Desarrolla los dos cuadrados y agrupa cada variable con su sucesor

Expand the two squares and group each variable with its successor

Pista grande:

Cada uno de los productos $a(a+1)$ y $b(b+1)$ es par

Each product $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even

Solución:

Al desarrollar y reagrupar, $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned}$ Tanto $a(a+1)$ como $b(b+1)$ son pares, así que su diferencia es par. Por consiguiente, la expresión mostrada es divisible entre $4\cdot2=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding and regrouping, $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned}$ Each of $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even, so their difference is even. The displayed expression is consequently divisible by $4\cdot2=8.$

Thus, the correct answer is C.

1954 AMC 12 Problema 49

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años