Question

En la expansión de $(a+b)^n$ hay $n+1$ términos distintos. El número de términos distintos de $(a+b+c)^{10}$ es:

In the expansion of $(a+b)^n$ there are $n+1$ dissimilar terms. The number of dissimilar terms in the expansion of $(a+b+c)^{10}$ is:

$11$

$33$

$55$

$66$

$132$

Respuesta: D

Conceptos:estrellas y barras combinaciones polinomio

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Cada término queda determinado por exponentes no negativos $i,j,k$ que suman $10$

A term is determined by nonnegative exponents $i,j,k$ whose sum is $10$

Pista grande:

Cuenta las soluciones de $i+j+k=10$ con estrellas y barras

Count the solutions of $i+j+k=10$ by stars and bars

Solución:

Cada término distinto es $a^ib^jc^k$ , con enteros no negativos que satisfacen $i+j+k=10.$ Por estrellas y barras, el número de ternas es $\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each distinct term is $a^ib^jc^k$ for nonnegative integers satisfying $i+j+k=10.$ By stars and bars, the number of such triples is $\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66.$

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 Problema 49

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años