Question

El diámetro $\overline{AB}$ de un círculo de centro $O$ mide $10$ unidades. $C$ está en $\overline{AB}$ a $4$ unidades de $A,$ y $D$ está en $\overline{AB}$ a $4$ unidades de $B.$ $P$ es cualquier punto del círculo. El camino quebrado de $C$ a $P$ y a $D:$

Diameter $\overline{AB}$ of a circle with center $O$ is $10$ units. $C$ is a point $4$ units from $A,$ and on $\overline{AB}.$ $D$ is a point $4$ units from $B,$ and on $\overline{AB}.$ $P$ is any point on the circle. Then the broken-line path from $C$ to $P$ to $D:$

tiene la misma longitud para toda posición de $P$

has the same length for all positions of $P$

supera $10$ unidades para toda posición de $P$

exceeds $10$ units for all positions of $P$

no puede superar $10$ unidades

cannot exceed $10$ units

es mínimo cuando $CPD$ es un triángulo rectángulo

is shortest when $CPD$ is a right triangle

es máximo cuando $P$ equidista de $C$ y $D$

is longest when $P$ is equidistant from $C$ and $D$

Respuesta: E

Conceptos:círculo fórmula de la distancia optimización simetría

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen y el diámetro en el eje $x$ , con $C=(-1,0)$ y $D=(1,0)$

Place the center at the origin and the diameter on the $x$ -axis, so $C=(-1,0)$ and $D=(1,0)$

Pista grande:

Para $P=(u,v)$ en el círculo, compara $CP^2=26+2u$ y $DP^2=26-2u$

For $P=(u,v)$ on the circle, compare $CP^2=26+2u$ and $DP^2=26-2u$

Solución:

Sean $O=(0,0),$ $C=(-1,0),$ $D=(1,0)$ y $P=(u,v)$ , con $u^2+v^2=25.$ Entonces $\begin{aligned} CP^2&=26+2u,\\ DP^2&=26-2u. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (CP+DP)^2 &=52\\ &\quad+2\sqrt{676-4u^2}. \end{aligned}$ Esto es máximo cuando $u=0,$ exactamente cuando $CP=DP.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place $O=(0,0),$ $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ and $P=(u,v)$ with $u^2+v^2=25.$ Then $\begin{aligned} CP^2&=26+2u,\\ DP^2&=26-2u. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} (CP+DP)^2 &=52\\ &\quad+2\sqrt{676-4u^2}. \end{aligned}$ This is largest when $u=0,$ exactly when $CP=DP.$

Therefore, the correct answer is E.

1958 AMC 12 Problema 48

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años