Question

El área de un cuadrado inscrito en un semicírculo es al área del cuadrado inscrito en el círculo completo como:

The area of a square inscribed in a semicircle is to the area of the square inscribed in the entire circle as:

$1:2$

$2:3$

$2:5$

$3:4$

$3:5$

Respuesta: C

Conceptos:círculo cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Sea $R$ el radio del círculo y $s$ el lado del cuadrado inscrito en el semicírculo

Let the circle have radius $R$ and the semicircle-square have side $s$

Pista grande:

Para el cuadrado del semicírculo, uno de los vértices superiores da $(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2$

For the semicircle-square, a top vertex gives $(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2$

Solución:

Para el cuadrado del semicírculo, colocamos su base sobre el diámetro. Un vértice superior está a una distancia horizontal $\frac{s}{2}$ del centro y a una distancia vertical $s,$ por lo que $\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,$ de donde $s^2=\frac{4R^2}{5}.$ Un cuadrado inscrito en el círculo completo tiene diagonal $2R,$ y por tanto área $2R^2.$ La razón es $\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the square in the semicircle, put its base on the diameter. A top vertex has horizontal distance $\frac{s}{2}$ from the center and vertical distance $s,$ so $\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,$ giving $s^2=\frac{4R^2}{5}.$ A square inscribed in the full circle has diagonal $2R,$ hence area $2R^2.$ The ratio is $\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.$

Thus, the correct answer is C.

1951 AMC 12 Problema 48

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años