Si al aplicar la fórmula cuadrática a la ecuación f(x)=ax^2+bx+c=0, resulta que c=(b^2)/(4a), entonces la gráfica de y=f(x) necesariamente:

(E) Está situada en un solo cuadrante

1951 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

El porcentaje en que $M$ es mayor que $N$ es:

The percent that $M$ is greater than $N$ is:

$\dfrac{100(M-N)}{M}$

$\dfrac{100(M-N)}{N}$

$\dfrac{M-N}{N}$

$\dfrac{M-N}{M}$

$\dfrac{100(M+N)}{N}$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El aumento porcentual se mide con respecto a la cantidad original

Percent increase is measured relative to the original quantity

Pista grande:

Aquí $N$ es la cantidad original y el aumento es $M-N$

Here $N$ is the original quantity, and the increase is $M-N$

Solución:

El aumento de $N$ a $M$ es $M-N.$ Al dividir entre la cantidad original y multiplicar por $100$ , se obtiene $\frac{100(M-N)}{N}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The increase from $N$ to $M$ is $M-N.$ Dividing by the original quantity and multiplying by $100$ gives $\frac{100(M-N)}{N}.$

Thus, the correct answer is B.

2.

Un campo rectangular tiene un ancho igual a la mitad de su largo y está completamente rodeado por $x$ yardas de cerca. Su área en función de $x$ es:

A rectangular field is half as wide as it is long and is completely enclosed by $x$ yards of fencing. The area in terms of $x$ is:

$\dfrac{x^2}{2}$

$2x^2$

$\dfrac{2x^2}{9}$

$\dfrac{x^2}{18}$

$\dfrac{x^2}{72}$

Respuesta: D

Conceptos:rectángulo perímetro área

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sea $w$ el ancho, de modo que el largo es $2w$

Let the width be $w$ , so the length is $2w$

Pista grande:

Usa la ecuación del perímetro $2(w+2w)=x$ antes de hallar el área

Use the perimeter equation $2(w+2w)=x$ before finding the area

Solución:

Sea $w$ el ancho, de modo que el largo es $2w.$ La cerca da $2(w+2w)=6w=x,$ así que $w=\frac{x}{6}.$ Por lo tanto, $A=w(2w)=2\left(\frac{x}{6}\right)^2=\frac{x^2}{18}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the width be $w$ , so the length is $2w.$ The fencing gives $2(w+2w)=6w=x,$ hence $w=\frac{x}{6}.$ Therefore $A=w(2w)=2\left(\frac{x}{6}\right)^2=\frac{x^2}{18}.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Si la longitud de una diagonal de un cuadrado es $a+b,$ entonces el área del cuadrado es:

If the length of a diagonal of a square is $a+b,$ then the area of the square is:

$(a+b)^2$

$\dfrac12(a+b)^2$

$a^2+b^2$

$\dfrac12(a^2+b^2)$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado (geometría)diagonal área

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Relaciona la diagonal $d$ de un cuadrado con su lado $s$

Relate the diagonal $d$ of a square to its side $s$

Pista grande:

Como $d=s\sqrt2$ , el área $s^2$ es igual a $\frac{d^2}{2}$

Since $d=s\sqrt2$ , the area $s^2$ equals $\frac{d^2}{2}$

Solución:

Si $s$ es la longitud del lado y $d=a+b$ es la diagonal, entonces $d=s\sqrt2.$ Por lo tanto, $s^2=\frac{d^2}{2}=\frac12(a+b)^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $s$ is the side length and $d=a+b$ is the diagonal, then $d=s\sqrt2.$ Thus $s^2=\frac{d^2}{2}=\frac12(a+b)^2.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Un granero rectangular de techo plano mide $10$ yardas de ancho, $13$ yardas de largo y $5$ yardas de alto. Se pintarán sus paredes por dentro y por fuera, además del cielo raso, pero no el techo ni el piso. El número total de yardas cuadradas que se pintarán es:

A barn with a flat roof is rectangular in shape, $10$ yd. wide, $13$ yd. long, and $5$ yd. high. It is to be painted inside and outside, and on the ceiling, but not on the roof or floor. The total number of square yards to be painted is:

$360$

$460$

$490$

$590$

$720$

Respuesta: D

Conceptos:prisma rectangular área de superficie

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Cuenta tanto la cara interior como la exterior de cada una de las cuatro paredes

Count both the inside and outside faces of each of the four walls

Pista grande:

El cielo raso aporta un rectángulo de $10$ por $13$

The ceiling contributes one $10$ -by- $13$ rectangle

Solución:

El área de una cara de las cuatro paredes es $2(13\cdot5)+2(10\cdot5)=230.$ Pintarlas por dentro y por fuera aporta $2(230)=460.$ El cielo raso añade $10\cdot13=130,$ de modo que el total es $460+130=590.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The four walls have one-sided area $2(13\cdot5)+2(10\cdot5)=230.$ Painting them inside and outside contributes $2(230)=460.$ The ceiling adds $10\cdot13=130,$ so the total is $460+130=590.$

Thus, the correct answer is D.

5.

El señor $A$ posee una casa valorada en $\$10{,}000.$ Se la vende al señor $B$ con una ganancia del $10\%$ sobre el valor de la casa. El señor $B$ vuelve a venderle la casa al señor $A$ con una pérdida del $10\%.$ Entonces:

Mr. $A$ owns a home worth $\$10{,}000.$ He sells it to Mr. $B$ at a $10\%$ profit based on the worth of the house. Mr. $B$ sells the house back to Mr. $A$ at a $10\%$ loss. Then:

$A$ no gana ni pierde

$A$ comes out even

$A$ gana $\$1100$ en la operación

$A$ makes $\$1100$ on the deal

$A$ gana $\$1000$ en la operación

$A$ makes $\$1000$ on the deal

$A$ pierde $\$900$ en la operación

$A$ loses $\$900$ on the deal

$A$ pierde $\$1000$ en la operación

$A$ loses $\$1000$ on the deal

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Calcula por separado los precios de las dos ventas

Compute the two sale prices separately

Pista grande:

La primera venta es por $10{,}000(1.10)$ , y la venta de regreso es un $10\%$ menor que esa cantidad

The first sale is for $10{,}000(1.10)$ , and the return sale is $10\%$ below that amount

Solución:

El precio de la primera venta es $10{,}000(1.10)=11{,}000.$ El precio de la venta de regreso es $11{,}000(0.90)=9{,}900.$ El señor $A$ recibe $11{,}000$ y paga $9{,}900,$ por lo que gana $1{,}100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first sale price is $10{,}000(1.10)=11{,}000.$ The return sale is $11{,}000(0.90)=9{,}900.$ Mr. $A$ receives $11{,}000$ and pays back $9{,}900,$ so he gains $1{,}100.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Se conocen las áreas de la base, de una cara lateral y de la cara frontal de una caja rectangular. El producto de estas áreas es igual a:

The bottom, side, and front areas of a rectangular box are known. The product of these areas is equal to:

El volumen de la caja

The volume of the box

La raíz cuadrada del volumen

The square root of the volume

El doble del volumen

Twice the volume

El cuadrado del volumen

The square of the volume

El cubo del volumen

The cube of the volume

Respuesta: D

Conceptos:prisma rectangular volumen manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Denota las longitudes de las tres aristas por $l,w,h$

Call the three edge lengths $l,w,h$

Pista grande:

Multiplica las áreas de las tres caras: $lw,$ $wh,$ y $hl$

Multiply the three face areas $lw,$ $wh,$ and $hl$

Solución:

Si las longitudes de las aristas son $l,w,h,$ las áreas de las tres caras son $lw,$ $wh,$ y $hl.$ Su producto es $(lw)(wh)(hl)=l^2w^2h^2=(lwh)^2,$ el cuadrado del volumen.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the edge lengths are $l,w,h,$ the three face areas are $lw,$ $wh,$ and $hl.$ Their product is $(lw)(wh)(hl)=l^2w^2h^2=(lwh)^2,$ the square of the volume.

Thus, the correct answer is D.

7.

Al medir un segmento de $10''$ se comete un error de $0.02''$ , mientras que al medir un segmento de $100''$ se comete un error de solo $0.2''$ . En comparación con el error relativo de la primera medición, el error relativo de la segunda es:

An error of $0.02''$ is made in the measurement of a line $10''$ long, while an error of only $0.2''$ is made in a measurement of a line $100''$ long. In comparison with the relative error of the first measurement, the relative error of the second measurement is:

Mayor por $0.18$

Greater by $0.18$

El mismo

The same

Menor

Less

$10$ veces mayor

$10$ times as great

Está descrito correctamente tanto por $(A)$ como por $(D)$

Correctly described by both $(A)$ and $(D)$

Respuesta: B

Conceptos:razón y proporción decimal

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

El error relativo es el error absoluto dividido entre la longitud medida

Relative error is the absolute error divided by the measured length

Pista grande:

Compara $\frac{0.02}{10}$ con $\frac{0.2}{100}$

Compare $\frac{0.02}{10}$ with $\frac{0.2}{100}$

Solución:

Los dos errores relativos son $\frac{0.02}{10}=0.002$ y $\frac{0.2}{100}=0.002.$ Son iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two relative errors are $\frac{0.02}{10}=0.002$ and $\frac{0.2}{100}=0.002.$ They are equal.

Thus, the correct answer is B.

8.

El precio de un artículo se reduce un $10\%.$ Para devolverlo a su valor anterior, el nuevo precio debe aumentarse en:

The price of an article is cut $10\%.$ To restore it to its former value, the new price must be increased by:

$10\%$

$9\%$

$11\dfrac19\%$

$11\%$

Ninguna de las anteriores

None of these answers

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Después de la reducción, el precio es el $90\%$ del original

After the cut, the price is $90\%$ of the original

Pista grande:

Si el aumento requerido es $p$ , resuelve $0.9(1+p)=1$

If the required increase is $p$ , solve $0.9(1+p)=1$

Solución:

Sea $1$ el precio original. El precio reducido es $0.9.$ El aumento fraccionario requerido es $\frac{1-0.9}{0.9}=\frac19,$ que equivale a $11\dfrac19\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the original price be $1.$ The reduced price is $0.9.$ The required fractional increase is $\frac{1-0.9}{0.9}=\frac19,$ which is $11\dfrac19\%.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Se dibuja un triángulo equilátero con lado de longitud $a.$ Al unir los puntos medios de sus lados se forma un nuevo triángulo equilátero. Luego se forma un tercer triángulo equilátero uniendo los puntos medios de los lados del segundo, y así sucesivamente sin fin. El límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos dibujados es:

An equilateral triangle is drawn with a side of length $a.$ A new equilateral triangle is formed by joining the midpoints of the sides of the first one. Then a third equilateral triangle is formed by joining the midpoints of the sides of the second; and so on forever. The limit of the sum of the perimeters of all the triangles thus drawn is:

Infinito

Infinite

$\left(5\dfrac14\right)a$

$2a$

$6a$

$\left(4\dfrac12\right)a$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica perímetro triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Cada triángulo de puntos medios tiene lados de la mitad de la longitud de los del triángulo anterior

Each midpoint triangle has half the side length of the preceding triangle

Pista grande:

Los perímetros forman $3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{4}+\cdots$

The perimeters form $3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{4}+\cdots$

Solución:

El primer perímetro es $3a,$ y cada perímetro posterior es la mitad del anterior. Por lo tanto, el total es $\begin{aligned} &3a\left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\quad=3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}\\ &\quad=6a. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first perimeter is $3a,$ and every later perimeter is half the preceding one. Hence the total is $\begin{aligned} &3a\left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\quad=3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}\\ &\quad=6a. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

10.

De las siguientes afirmaciones, la incorrecta es:

Of the following statements, the one that is incorrect is:

Duplicar la base de un rectángulo dado duplica el área.

Doubling the base of a given rectangle doubles the area.

Duplicar la altura de un triángulo duplica el área.

Doubling the altitude of a triangle doubles the area.

Duplicar el radio de un círculo dado duplica el área.

Doubling the radius of a given circle doubles the area.

Duplicar el divisor de una fracción y dividir su numerador entre $2$ cambia el cociente.

Doubling the divisor of a fraction and dividing its numerator by $2$ changes the quotient.

Duplicar una cantidad dada puede hacer que el resultado sea menor que la cantidad original.

Doubling a given quantity may make it less than it originally was.

Respuesta: C

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen contraejemplo

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Comprueba cómo cambia cada fórmula de área cuando se duplica una longitud

Check how each area formula changes when one length is doubled

Pista grande:

El área de un círculo depende del cuadrado de su radio

A circle’s area depends on the square of its radius

Solución:

Un círculo tiene área $\pi r^2.$ Al sustituir $r$ por $2r$ , se obtiene $\pi(2r)^2=4\pi r^2,$ por lo que duplicar el radio cuadruplica el área en vez de duplicarla. Las demás afirmaciones pueden cumplirse tal como están escritas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A circle has area $\pi r^2.$ Replacing $r$ by $2r$ gives $\pi(2r)^2=4\pi r^2,$ so doubling the radius quadruples, rather than doubles, the area. The other statements can hold as written.

Thus, the correct answer is C.

11.

El límite de la suma de una progresión geométrica infinita es $\dfrac{a}{1-r},$ donde $a$ representa el primer término y $-1\lt r\lt1$ representa la razón común. El límite de la suma de los cuadrados de sus términos es:

The limit of the sum of an infinite number of terms in a geometric progression is $\dfrac{a}{1-r},$ where $a$ denotes the first term and $-1\lt r\lt1$ denotes the common ratio. The limit of the sum of their squares is:

$\dfrac{a^2}{(1-r)^2}$

$\dfrac{a^2}{1+r^2}$

$\dfrac{a^2}{1-r^2}$

$\dfrac{4a^2}{1+r^2}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Al elevar cada término al cuadrado, también se eleva al cuadrado la razón común

Squaring every term also squares the common ratio

Pista grande:

La serie de los cuadrados comienza con $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$

The squared series begins $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$

Solución:

Los cuadrados de los términos forman una serie geométrica cuyo primer término es $a^2$ y cuya razón es $r^2.$ Como $|r|\lt1,$ su suma es $\frac{a^2}{1-r^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The squared terms form a geometric series with first term $a^2$ and ratio $r^2.$ Since $|r|\lt1,$ its sum is $\frac{a^2}{1-r^2}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

A las $2{:}15$ , las manecillas horaria y minutera de un reloj forman un ángulo de:

At $2{:}15$ o’clock, the hour and minute hands of a clock form an angle of:

$30^\circ$

$5^\circ$

$22\dfrac12^\circ$

$7\dfrac12^\circ$

$28^\circ$

Respuesta: C

Conceptos:reloj persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

A las $2{:}15$ , el minutero está a $90^\circ$ de la dirección del $12$

At $2{:}15$ the minute hand is at $90^\circ$ from $12$

Pista grande:

A partir de su posición a las $2{:}00$ , la manecilla horaria avanza $0.5^\circ$ por minuto

The hour hand moves $0.5^\circ$ per minute in addition to its position at $2{:}00$

Solución:

A las $2{:}15$ , el minutero está a $90^\circ$ de la dirección del $12.$ La manecilla horaria está a $2\cdot30^\circ+15\cdot0.5^\circ=67.5^\circ$ de la dirección del $12.$ El ángulo entre ambas es $90^\circ-67.5^\circ=22.5^\circ=22\dfrac12^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At $2{:}15$ the minute hand is $90^\circ$ from $12.$ The hour hand is $2\cdot30^\circ+15\cdot0.5^\circ=67.5^\circ$ from $12.$ Their angle is $90^\circ-67.5^\circ=22.5^\circ=22\dfrac12^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

13.

$A$ puede realizar un trabajo en $9$ días. $B$ es un $50\%$ más eficiente que $A.$ El número de días que necesita $B$ para realizar el mismo trabajo es:

$A$ can do a piece of work in $9$ days. $B$ is $50\%$ more efficient than $A.$ The number of days it takes $B$ to do the same piece of work is:

$13\dfrac12$

$4\dfrac12$

$6$

$3$

Ninguna de las anteriores

None of these answers

Respuesta: C

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Convierte los días por trabajo en trabajos por día

Translate days per job into jobs per day

Pista grande:

Multiplica la tasa de trabajo $\frac{1}{9}$ de $A$ por $1.5$

Multiply $A$ ’s rate $\frac{1}{9}$ by $1.5$

Solución:

La tasa de trabajo de $A$ es $\frac{1}{9}$ de trabajo por día. Por lo tanto, la tasa de $B$ es $\frac32\cdot\frac19=\frac16$ de trabajo por día, así que $B$ necesita $6$ días.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$A$ ’s rate is $\frac{1}{9}$ job per day. Thus $B$ ’s rate is $\frac32\cdot\frac19=\frac16$ job per day, so $B$ needs $6$ days.

Thus, the correct answer is C.

14.

Con respecto a las demostraciones geométricas, indique cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta:

In connection with proof in geometry, indicate which one of the following statements is incorrect:

Algunas afirmaciones se aceptan sin demostración.

Some statements are accepted without being proved.

En algunos casos hay más de un orden correcto para demostrar ciertas proposiciones.

In some instances there is more than one correct order in proving certain propositions.

Todo término utilizado en una demostración debe haber sido definido previamente.

Every term used in a proof must have been defined previously.

No es posible llegar mediante un razonamiento correcto a una conclusión verdadera si entre los datos hay una proposición falsa.

It is not possible to arrive by correct reasoning at a true conclusion if, in the given, there is an untrue proposition.

Se puede usar una demostración indirecta siempre que haya dos o más proposiciones contrarias.

Indirect proof can be used whenever there are two or more contrary propositions.

Respuesta: C

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Distingue los términos primitivos no definidos de los axiomas no demostrados

Distinguish undefined primitive terms from unproved axioms

Pista grande:

Un sistema axiomático no puede definir todos sus términos sin caer en una regresión infinita

An axiomatic system cannot define every term without an infinite regress

Solución:

Un desarrollo axiomático comienza con términos primitivos que se dejan deliberadamente sin definir, además de afirmaciones que se aceptan sin demostración. Por lo tanto, no es cierto que todo término usado en una demostración deba haber sido definido previamente.

Por lo tanto, la respuesta correcta prevista es C.

An axiomatic development begins with primitive terms that are deliberately left undefined, as well as statements accepted without proof. Therefore it is not true that every term in a proof must previously have been defined.

Thus, the intended correct answer is C.

15.

El mayor número por el cual es divisible la expresión $n^3-n$ para todo valor entero posible de $n$ es:

The largest number by which the expression $n^3-n$ is divisible for all possible integral values of $n$ is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad factorización

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Factoriza $n^3-n$

Factor $n^3-n$

Pista grande:

Los factores $n-1,n,n+1$ son tres enteros consecutivos

The factors $n-1,n,n+1$ are three consecutive integers

Solución:

Tenemos $n^3-n=n(n-1)(n+1),$ un producto de tres enteros consecutivos. Uno es divisible por $3$ y al menos uno es par, por lo que el producto siempre es divisible por $6.$ Al tomar $n=2$ , se obtiene exactamente $6,$ así que ningún entero mayor lo divide siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $n^3-n=n(n-1)(n+1),$ a product of three consecutive integers. One is divisible by $3$ and at least one is even, so the product is always divisible by $6.$ Taking $n=2$ gives exactly $6,$ so no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is E.

16.

Si al aplicar la fórmula cuadrática a la ecuación $f(x)=ax^2+bx+c=0,$ resulta que $c=\dfrac{b^2}{4a},$ entonces la gráfica de $y=f(x)$ necesariamente:

If in applying the quadratic formula to a quadratic equation $f(x)=ax^2+bx+c=0,$ it happens that $c=\dfrac{b^2}{4a},$ then the graph of $y=f(x)$ will certainly:

Tiene un máximo

Have a maximum

Tiene un mínimo

Have a minimum

Es tangente al eje $x$

Be tangent to the $x$ -axis

Es tangente al eje $y$

Be tangent to the $y$ -axis

Está situada en un solo cuadrante

Lie in one quadrant only

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática recta tangente

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Sustituye la condición en el discriminante $b^2-4ac$

Substitute the condition into the discriminant $b^2-4ac$

Pista grande:

La gráfica de una cuadrática con una raíz real doble toca el eje horizontal en un solo punto

A quadratic with one repeated real root touches the horizontal axis once

Solución:

La condición da $b^2-4ac=b^2-4a\left(\frac{b^2}{4a}\right)=0.$ Por consiguiente, la cuadrática tiene una raíz real doble y su parábola es tangente al eje $x$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The condition gives $b^2-4ac=b^2-4a\left(\frac{b^2}{4a}\right)=0.$ Hence the quadratic has a repeated real root, so its parabola is tangent to the $x$ -axis.

Thus, the correct answer is C.

17.

Indique en cuál de las siguientes ecuaciones $y$ no es ni directa ni inversamente proporcional a $x$ :

Indicate in which one of the following equations $y$ is neither directly nor inversely proportional to $x$ :

$x+y=0$

$3xy=10$

$x=5y$

$3x+y=10$

$\dfrac{x}{y}=\sqrt3$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Una proporción directa tiene la forma $y=kx$ , mientras que una proporción inversa tiene la forma $xy=k$

Direct proportion has the form $y=kx$ , while inverse proportion has the form $xy=k$

Pista grande:

Reescribe cada ecuación despejando $y$

Rewrite each equation by solving for $y$

Solución:

Las opciones A, C y E se pueden reordenar como $y=kx,$ y la opción B como $xy=k.$ Sin embargo, la opción D da $y=10-3x,$ que no tiene ninguna de esas formas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Choices A, C, and E rearrange to $y=kx,$ and choice B rearranges to $xy=k.$ But choice D gives $y=10-3x,$ which is neither form.

Thus, the correct answer is D.

18.

Se desea factorizar la expresión $21x^2+ax+21$ en dos factores binomiales lineales irreducibles con coeficientes enteros. Esto puede hacerse si $a$ es:

The expression $21x^2+ax+21$ is to be factored into two linear prime binomial factors with integer coefficients. This can be done if $a$ is:

Cualquier número impar

Any odd number

Algún número impar

Some odd number

Cualquier número par

Any even number

Algún número par

Some even number

Cero

Zero

Respuesta: D

Conceptos:factorización paridad

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe los factores como $(Ax+B)(Cx+D)$

Write the factors as $(Ax+B)(Cx+D)$

Pista grande:

Como $AC=BD=21,$ los cuatro factores enteros son impares

Because $AC=BD=21,$ all four integer factors are odd

Solución:

Supongamos que $\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}$ Entonces $AC=BD=21,$ de modo que $A,B,C,D$ son impares. Por lo tanto, $a=AD+BC$ es par. Algunos valores pares funcionan; por ejemplo, $\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}$ No todos los valores pares funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose $\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}$ Then $AC=BD=21,$ so $A,B,C,D$ are odd. Therefore $a=AD+BC$ is even. Some even values work; for example, $\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}$ Not every even value works.

Thus, the correct answer is D.

19.

Se forma un número de seis cifras repitiendo un número de tres cifras; por ejemplo, $256{,}256,$ o $678{,}678,$ etc. Todo número de esta forma siempre es divisible exactamente por:

A six-place number is formed by repeating a three-place number; for example, $256{,}256,$ or $678{,}678,$ etc. Any number of this form is always exactly divisible by:

Solo $7$

$7$ only

Solo $11$

$11$ only

Solo $13$

$13$ only

$101$

$1001$

Respuesta: E

Conceptos:valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Representa por $N$ el bloque repetido de tres cifras

Represent the repeated three-digit block by $N$

Pista grande:

El número de seis cifras es $1000N+N$

The six-digit number is $1000N+N$

Solución:

Si el bloque repetido es $N,$ entonces el número de seis cifras es $1000N+N=1001N.$ Por lo tanto, siempre es divisible por $1001.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If the repeated block is $N,$ then the six-place number is $1000N+N=1001N.$ It is therefore always divisible by $1001.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Al simplificar y expresar con exponentes negativos, la expresión $(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})$ es igual a:

When simplified and expressed with negative exponents, the expression $(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})$ is equal to:

$x^{-2}+2x^{-1}y^{-1}+y^{-2}$

$x^{-2}+2^{-1}x^{-1}y^{-1}+y^{-2}$

$x^{-1}y^{-1}$

$x^{-2}+y^{-2}$

$\dfrac{1}{x^{-1}y^{-1}}$

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica exponente

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Reescribe $x^{-1}+y^{-1}$ como una sola fracción

Rewrite $x^{-1}+y^{-1}$ as one fraction

Pista grande:

El factor $x+y$ se cancela después de sumar los recíprocos

The factor $x+y$ cancels after combining the reciprocals

Solución:

Para valores no nulos $x,y$ tales que $x+y\ne0,$ $\begin{aligned} &(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})\\ &\quad=\frac{1}{x+y}\left(\frac{x+y}{xy}\right)\\ &\quad=\frac1{xy}=x^{-1}y^{-1}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For nonzero $x,y$ with $x+y\ne0,$ $\begin{aligned} &(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})\\ &\quad=\frac{1}{x+y}\left(\frac{x+y}{xy}\right)\\ &\quad=\frac1{xy}=x^{-1}y^{-1}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

21.

Dados $x\gt0,$ $y\gt0,$ $x\gt y,$ y $z\ne0.$ La desigualdad que no siempre es correcta es:

Given $x\gt0,$ $y\gt0,$ $x\gt y,$ and $z\ne0.$ The inequality which is not always correct is:

$x+z\gt y+z$

$x-z\gt y-z$

$xz\gt yz$

$\dfrac{x}{z^2}\gt\dfrac{y}{z^2}$

$xz^2\gt yz^2$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Sumar el mismo número conserva el orden, pero multiplicar no siempre lo hace

Adding the same number preserves order, but multiplying does not always do so

Pista grande:

Comprueba las afirmaciones cuando $z\lt0$

Test the statements when $z\lt0$

Solución:

Como $z$ puede ser negativo, multiplicar $x\gt y$ por $z$ invierte la desigualdad y da $xz\lt yz.$ Las operaciones de las demás opciones conservan la desigualdad porque $z^2\gt0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $z$ may be negative, multiplying $x\gt y$ by $z$ reverses the inequality and gives $xz\lt yz.$ The operations in the other choices preserve the inequality because $z^2\gt0.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Los valores de $a$ en la ecuación $\log_{10}(a^2-15a)=2$ son:

The values of $a$ in the equation $\log_{10}(a^2-15a)=2$ are:

$\dfrac{15\pm\sqrt{233}}{2}$

$20,$ $-5$

$\dfrac{15\pm\sqrt{305}}{2}$

$\pm20$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo cuadrática

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Convierte la ecuación logarítmica a forma exponencial

Convert the logarithmic equation to exponential form

Pista grande:

Resuelve $a^2-15a=100$

Solve $a^2-15a=100$

Solución:

La ecuación equivale a $a^2-15a=10^2=100,$ por lo que $\begin{aligned} &a^2-15a-100\\ &\quad=(a-20)(a+5)\\ &\quad=0. \end{aligned}$ Tanto $a=20$ como $a=-5$ hacen que el argumento del logaritmo sea $100,$ así que ambos son válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is equivalent to $a^2-15a=10^2=100,$ so $\begin{aligned} &a^2-15a-100\\ &\quad=(a-20)(a+5)\\ &\quad=0. \end{aligned}$ Both $a=20$ and $a=-5$ make the logarithm’s argument $100,$ so both are valid.

Thus, the correct answer is B.

23.

El radio de una caja cilíndrica mide $8$ pulgadas y su altura mide $3$ pulgadas. El número de pulgadas que se puede sumar al radio o a la altura para producir el mismo aumento no nulo del volumen es:

The radius of a cylindrical box is $8$ inches and the height is $3$ inches. The number of inches that may be added to either the radius or the height to give the same nonzero increase in volume is:

$1$

$5\dfrac13$

Cualquier número

Any number

No existe

Non-existent

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:cilindro volumen cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Compara el volumen después de sumar $x$ al radio con el volumen después de sumar $x$ a la altura

Compare the volume after adding $x$ to the radius with the volume after adding $x$ to the height

Pista grande:

Plantea $\pi(8+x)^2(3)=\pi(8)^2(3+x)$ y descarta $x=0$

Set $\pi(8+x)^2(3)=\pi(8)^2(3+x)$ and discard $x=0$

Solución:

Para que los dos nuevos volúmenes sean iguales, $3\pi(8+x)^2=64\pi(3+x).$ Al cancelar $\pi$ y desarrollar se obtiene $3x^2-16x=0,$ así que $x=0$ o $x=\frac{16}{3}=5\dfrac13.$ El problema exige un aumento no nulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For the two new volumes to be equal, $3\pi(8+x)^2=64\pi(3+x).$ Cancelling $\pi$ and expanding gives $3x^2-16x=0,$ so $x=0$ or $x=\frac{16}{3}=5\dfrac13.$ The problem requires a nonzero increase.

Thus, the correct answer is B.

24.

Al simplificar, $\dfrac{2^{n+4}-2(2^n)}{2(2^{n+3})}$ es:

When simplified, $\dfrac{2^{n+4}-2(2^n)}{2(2^{n+3})}$ is:

$2^{n+1}-\dfrac18$

$-2^{n+1}$

$1-2^n$

$\dfrac78$

$\dfrac74$

Respuesta: D

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Extrae el factor $2^n$ del numerador

Factor $2^n$ from the numerator

Pista grande:

Reescribe el denominador como $2^{n+4}$

Rewrite the denominator as $2^{n+4}$

Solución:

Al factorizar y combinar potencias se obtiene $\frac{2^n(2^4-2)}{2^{n+4}} =\frac{14}{16} =\frac78.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring and combining powers gives $\frac{2^n(2^4-2)}{2^{n+4}} =\frac{14}{16} =\frac78.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Se compara la apotema de un cuadrado cuya área es numéricamente igual a su perímetro con la apotema de un triángulo equilátero cuya área es numéricamente igual a su perímetro. La primera apotema será:

The apothem of a square having its area numerically equal to its perimeter is compared with the apothem of an equilateral triangle having its area numerically equal to its perimeter. The first apothem will be:

Igual a la segunda

Equal to the second

$\dfrac43$ veces la segunda

$\dfrac43$ times the second

$\dfrac{2}{\sqrt3}$ veces la segunda

$\dfrac{2}{\sqrt3}$ times the second

$\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$ veces la segunda

$\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$ times the second

Relacionada de manera indeterminada con la segunda

Indeterminately related to the second

Respuesta: A

Conceptos:polígono regular área perímetro

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Para un polígono regular, el área es igual a la mitad del producto de la apotema y el perímetro

For a regular polygon, area equals one half the apothem times the perimeter

Pista grande:

Si un perímetro no nulo es igual al área, cancela el perímetro en $A=\frac12rP$

If a nonzero perimeter equals the area, cancel the perimeter from $A=\frac12rP$

Solución:

Todo polígono regular con apotema $r$ y perímetro $P$ tiene área $A=\frac12rP.$ Si el valor numérico de su área es igual a su perímetro no nulo, entonces $\frac12rP=P,$ de donde $r=2.$ Esto se aplica tanto al cuadrado como al triángulo equilátero, por lo que sus apotemas son iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every regular polygon with apothem $r$ and perimeter $P$ has area $A=\frac12rP.$ If its numerical area equals its nonzero perimeter, then $\frac12rP=P,$ so $r=2.$ This applies to both the square and the equilateral triangle, so their apothems are equal.

Thus, the correct answer is A.

26.

En la ecuación $\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},$ las raíces son iguales cuando:

In the equation $\frac{x(x-1)-(m+1)}{(x-1)(m-1)}=\frac{x}{m},$ the roots are equal when:

$m=1$

$m=\dfrac12$

$m=0$

$m=-1$

$m=-\dfrac12$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática ecuación racional

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Elimina los denominadores y ordena la ecuación cuadrática resultante en $x$

Clear denominators and collect the resulting quadratic in $x$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $x^2-x-m(m+1)=0$ ; para que las raíces sean iguales, el discriminante debe ser cero

The equation reduces to $x^2-x-m(m+1)=0$ ; equal roots require zero discriminant

Solución:

Al eliminar los denominadores y simplificar se obtiene $x^2-x-m(m+1)=0.$ Para que las raíces sean iguales se requiere $\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}$ de donde $m=-\frac12.$ Este valor no anula ninguno de los denominadores originales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Clearing denominators and simplifying yields $x^2-x-m(m+1)=0.$ Equal roots require $\begin{aligned} 1+4m(m+1) &=(2m+1)^2\\ &=0, \end{aligned}$ hence $m=-\frac12.$ This value does not violate the original denominators.

Thus, the correct answer is E.

27.

Por un punto interior de un triángulo se trazan tres rectas desde los vértices hasta los lados opuestos, formando seis regiones triangulares. Entonces:

Through a point inside a triangle, three lines are drawn from the vertices to the opposite sides, forming six triangular sections. Then:

Los triángulos opuestos por pares son semejantes

The triangles are similar in opposite pairs

Los triángulos opuestos por pares son congruentes

The triangles are congruent in opposite pairs

Los triángulos opuestos por pares tienen la misma área

The triangles are equal in area in opposite pairs

Se forman tres cuadriláteros semejantes

Three similar quadrilaterals are formed

Ninguna de las relaciones anteriores es verdadera

None of the above relations is true

Respuesta: E

Conceptos:área del triángulo contraejemplo

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

El punto interior y las tres cevianas son arbitrarios

The interior point and the three cevians are arbitrary

Pista grande:

Mueve el punto muy cerca de un lado para comprobar la supuesta relación entre las áreas opuestas

Move the point very close to one side to test the claimed opposite-area relation

Solución:

Ninguna condición sobre ángulos o longitudes obliga a que las regiones opuestas sean semejantes o congruentes. Tampoco es necesario que sus áreas coincidan: al colocar el punto interior muy cerca de un lado, las regiones adyacentes a ese lado se hacen arbitrariamente pequeñas sin obligar a que sus regiones opuestas sean pequeñas. Ninguna de las seis regiones es un cuadrilátero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

No angle or length condition forces opposite sections to be similar or congruent. Their areas also need not match: placing the interior point very close to one side makes the sections adjoining that side arbitrarily small without forcing their opposite sections to be small. No quadrilaterals are among the six sections.

Thus, the correct answer is E.

28.

La presión $P$ del viento sobre una vela varía conjuntamente con el área $A$ de la vela y con el cuadrado de la velocidad $V$ del viento. La presión sobre un pie cuadrado es de $1$ libra cuando la velocidad es de $16$ millas por hora. La velocidad del viento cuando la presión sobre una yarda cuadrada es de $36$ libras es:

The pressure $P$ of wind on a sail varies jointly as the area $A$ of the sail and the square of the velocity $V$ of the wind. The pressure on a square foot is $1$ pound when the velocity is $16$ miles per hour. The velocity of the wind when the pressure on a square yard is $36$ pounds is:

$10\dfrac23$ millas por hora

$10\dfrac23$ mph

$96$ millas por hora

$96$ mph

$32$ millas por hora

$32$ mph

$1\dfrac13$ millas por hora

$1\dfrac13$ mph

$16$ millas por hora

$16$ mph

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Usa $P=kAV^2$ y recuerda que una yarda cuadrada equivale a nueve pies cuadrados

Use $P=kAV^2$ and remember that one square yard is nine square feet

Pista grande:

La primera condición da $1=k(1)(16^2)$

The first condition gives $1=k(1)(16^2)$

Solución:

Escribimos $P=kAV^2.$ De $1=k(1)(16^2),$ obtenemos $k=\frac{1}{256}.$ Una yarda cuadrada tiene un área de $9$ pies cuadrados, por lo que $36=\frac1{256}\cdot9V^2.$ Así, $V^2=1024$ y la velocidad positiva es $V=32$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write $P=kAV^2.$ From $1=k(1)(16^2),$ we get $k=\frac{1}{256}.$ A square yard has area $9$ square feet, so $36=\frac1{256}\cdot9V^2.$ Thus $V^2=1024$ and the positive speed is $V=32$ mph.

Thus, the correct answer is C.

29.

De los siguientes conjuntos de datos, el único que no determina la forma de un triángulo es:

Of the following sets of data, the only one that does not determine the shape of a triangle is:

La razón entre dos lados y el ángulo comprendido

The ratio of two sides and the included angle

Las razones entre las tres alturas

The ratios of the three altitudes

Las razones entre las tres medianas

The ratios of the three medians

La razón entre una altura y su base correspondiente

The ratio of the altitude to the corresponding base

Dos ángulos

Two angles

Respuesta: D

Conceptos:semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Determinar la forma significa determinar el triángulo salvo semejanza

Determining shape means determining the triangle up to similarity

Pista grande:

Una sola razón entre altura y base fija una razón de área, pero puede aparecer en triángulos de formas distintas

A single altitude-to-base ratio fixes an area ratio but can occur in differently shaped triangles

Solución:

Las opciones A y E determinan los ángulos salvo semejanza. Las razones entre las tres alturas determinan las razones recíprocas entre los lados, y las razones entre las tres medianas determinan las razones entre los lados. Sin embargo, una sola razón $\frac{h}{b}$ no determina las longitudes ni los ángulos restantes; muchos triángulos no semejantes pueden compartirla.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Choices A and E determine the angles up to similarity. Ratios of all three altitudes determine reciprocal side ratios, and ratios of all three medians determine side ratios. But a single ratio $\frac{h}{b}$ does not determine the remaining side lengths or angles; many non-similar triangles can share it.

Thus, the correct answer is D.

30.

Dos postes de $20''$ y $80''$ de altura están separados por $100''$ . La altura de la intersección de las rectas que unen la parte superior de cada poste con el pie del poste opuesto es:

If two poles $20''$ and $80''$ high are $100''$ apart, then the height of the intersection of the lines joining the top of each pole to the foot of the opposite pole is:

$50''$

$40''$

$16''$

$60''$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Coloca las bases de los postes en $x=0$ y $x=100$

Place the pole bases at $x=0$ and $x=100$

Pista grande:

Las rectas cruzadas pueden escribirse como $y=\frac{4x}{5}$ y $y=20-\frac{x}{5}$

The cross-lines can be written $y=\frac{4x}{5}$ and $y=20-\frac{x}{5}$

Solución:

Colocamos las bases en $(0,0)$ y $(100,0),$ y las partes superiores en $(0,80)$ y $(100,20).$ Las rectas cruzadas son $y=\frac45x$ y $y=20-\frac15x.$ Al igualarlas se obtiene $x=20,$ y por tanto $y=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put the bases at $(0,0)$ and $(100,0),$ with tops $(0,80)$ and $(100,20).$ The cross-lines are $y=\frac45x$ and $y=20-\frac15x.$ Equating them gives $x=20,$ and hence $y=16.$

Thus, the correct answer is C.

31.

Al finalizar una fiesta se intercambiaron en total $28$ apretones de manos. Suponiendo que cada participante fue igualmente cortés con todos los demás, el número de personas presentes era:

A total of $28$ handshakes was exchanged at the conclusion of a party. Assuming that each participant was equally polite toward all the others, the number of people present was:

$14$

$28$

$56$

$8$

$7$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de pares cuadrática

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Con $n$ personas, cada pareja no ordenada se da la mano una vez

With $n$ people, each unordered pair shakes hands once

Pista grande:

Resuelve $\binom n2=28$

Solve $\binom n2=28$

Solución:

Con $n$ personas, el número de apretones de manos es $\binom n2=\frac{n(n-1)}2.$ Por lo tanto, $n(n-1)=56,$ y la solución positiva es $n=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

With $n$ people the number of handshakes is $\binom n2=\frac{n(n-1)}2.$ Thus $n(n-1)=56,$ and the positive solution is $n=8.$

Thus, the correct answer is D.

32.

Si $\triangle ABC$ está inscrito en un semicírculo cuyo diámetro es $\overline{AB},$ entonces $\overline{AC}+\overline{BC}$ debe ser:

If $\triangle ABC$ is inscribed in a semicircle whose diameter is $\overline{AB},$ then $\overline{AC}+\overline{BC}$ must be:

Igual a $\overline{AB}$

Equal to $\overline{AB}$

Igual a $\overline{AB}\sqrt2$

Equal to $\overline{AB}\sqrt2$

$\ge \overline{AB}\sqrt2$

$\le \overline{AB}\sqrt2$

$\overline{AB}^{\,2}$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

El ángulo que subtiende el diámetro es recto

The angle subtending the diameter is a right angle

Pista grande:

Para los catetos $a,b$ , compara $(a+b)^2$ con $2(a^2+b^2)$

For legs $a,b$ , compare $(a+b)^2$ with $2(a^2+b^2)$

Solución:

Por el teorema de Tales, $AC$ y $BC$ son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $AB.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned}$ Al tomar raíces cuadradas positivas se obtiene $AC+BC\le AB\sqrt2,$ con igualdad en un triángulo rectángulo isósceles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Thales’ theorem, $AC$ and $BC$ are the legs of a right triangle with hypotenuse $AB.$ Therefore $\begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned}$ Taking positive square roots gives $AC+BC\le AB\sqrt2,$ with equality for an isosceles right triangle.

Thus, the correct answer is D.

33.

Las raíces de la ecuación $x^2-2x=0$ se pueden obtener gráficamente hallando las abscisas de los puntos de intersección de cada uno de los siguientes pares de ecuaciones, excepto el par:

The roots of the equation $x^2-2x=0$ can be obtained graphically by finding the abscissas of the points of intersection of each of the following pairs of equations except the pair:

$y=x^2,$ $y=2x$

$y=x^2-2x,$ $y=0$

$y=x,$ $y=x-2$

$y=x^2-2x+1,$ $y=1$

$y=x^2-1,$ $y=2x-1$

Respuesta: C

Conceptos:función cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Iguala los dos miembros derechos de cada par

Set the two right-hand sides in each pair equal

Pista grande:

Cuatro pares se reducen a $x^2-2x=0$ ; uno se reduce a una ecuación constante imposible

Four pairs reduce to $x^2-2x=0$ ; one pair reduces to an impossible constant equation

Solución:

Las opciones A, B, D y E reducen su condición de intersección a $x^2-2x=0.$ En cambio, la opción C exige $x=x-2,$ que no tiene solución y, por lo tanto, no puede producir las raíces deseadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Choices A, B, D, and E all reduce their intersection condition to $x^2-2x=0.$ Choice C instead requires $x=x-2,$ which has no solution and therefore cannot produce the desired roots.

Thus, the correct answer is C.

34.

El valor de $10^{\log_{10}7}$ es:

The value of $10^{\log_{10}7}$ is:

$7$

$1$

$10$

$\log_{10}7$

$\log_7 10$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

La exponenciación de base $10$ y el logaritmo de base $10$ son operaciones inversas

Exponentiation by $10$ and the base- $10$ logarithm are inverse operations

Pista grande:

Usa la identidad $b^{\log_b x}=x$

Use the identity $b^{\log_b x}=x$

Solución:

Como las funciones exponencial y logarítmica de base $10$ son inversas, $10^{\log_{10}7}=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since the base- $10$ exponential and logarithm are inverse functions, $10^{\log_{10}7}=7.$

Thus, the correct answer is A.

35.

Si $a^x=c^q=b$ y $c^y=a^z=d,$ entonces:

If $a^x=c^q=b$ and $c^y=a^z=d,$ then:

$xy=qz$

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{q}{z}$

$x+y=q+z$

$x-y=q-z$

$x^y=q^z$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Toma logaritmos en ambas cadenas de potencias iguales

Take logarithms of both chains of equal powers

Pista grande:

A partir de $x\log a=q\log c$ y $y\log c=z\log a$ , elimina los factores logarítmicos

From $x\log a=q\log c$ and $y\log c=z\log a$ , eliminate the logarithms

Solución:

Al tomar logaritmos se obtiene $\begin{gathered} x\log a=q\log c,\\ y\log c=z\log a. \end{gathered}$ Bajo la convención histórica de bases no degeneradas, al multiplicar estas ecuaciones y cancelar los factores logarítmicos no nulos se obtiene $xy=qz.$

Por lo tanto, la respuesta correcta prevista es A.

Taking logarithms gives $\begin{gathered} x\log a=q\log c,\\ y\log c=z\log a. \end{gathered}$ Multiplying these equations and cancelling the nonzero logarithmic factors under the historical nondegenerate-base convention yields $xy=qz.$

Thus, the intended correct answer is A.

36.

¿Cuál de los siguientes métodos para demostrar que una figura geométrica es un lugar geométrico no es correcto?

Which of the following methods of proving a geometric figure a locus is not correct?

Todo punto del lugar geométrico satisface las condiciones y todo punto que no pertenece al lugar geométrico no satisface las condiciones.

Every point on the locus satisfies the conditions and every point not on the locus does not satisfy the conditions.

Todo punto que no satisface las condiciones no pertenece al lugar geométrico y todo punto del lugar geométrico sí satisface las condiciones.

Every point not satisfying the conditions is not on the locus and every point on the locus does satisfy the conditions.

Todo punto que satisface las condiciones pertenece al lugar geométrico y todo punto del lugar geométrico satisface las condiciones.

Every point satisfying the conditions is on the locus and every point on the locus satisfies the conditions.

Todo punto que no pertenece al lugar geométrico no satisface las condiciones y todo punto que no satisface las condiciones no pertenece al lugar geométrico.

Every point not on the locus does not satisfy the conditions and every point not satisfying the conditions is not on the locus.

Todo punto que satisface las condiciones pertenece al lugar geométrico y todo punto que no satisface las condiciones no pertenece al lugar geométrico.

Every point satisfying the conditions is on the locus and every point not satisfying the conditions is not on the locus.

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Una demostración de lugar geométrico necesita ambas implicaciones entre «pertenece al lugar geométrico» y «satisface las condiciones»

A locus proof needs both implications between “on the locus” and “satisfies the conditions”

Pista grande:

Usa las contrapositivas para determinar si cada opción establece ambas direcciones

Use contrapositives to see whether each choice establishes both directions

Solución:

Sea $L$ la afirmación «pertenece al lugar geométrico» y $C$ la afirmación «satisface las condiciones». Una demostración completa necesita tanto $L\Rightarrow C$ como $C\Rightarrow L.$ La opción B afirma $\neg C\Rightarrow\neg L,$ que es solo la contrapositiva de $L\Rightarrow C,$ y después repite $L\Rightarrow C.$ Nunca demuestra $C\Rightarrow L.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $L$ mean “on the locus” and $C$ mean “satisfies the conditions.” A complete proof needs both $L\Rightarrow C$ and $C\Rightarrow L.$ Choice B states $\neg C\Rightarrow\neg L,$ which is merely the contrapositive of $L\Rightarrow C,$ and then repeats $L\Rightarrow C.$ It never proves $C\Rightarrow L.$

Thus, the correct answer is B.

37.

Un número que al dividirse entre $10$ deja residuo $9,$ al dividirse entre $9$ deja residuo $8,$ al dividirse entre $8$ deja residuo $7,$ y así sucesivamente, hasta que al dividirse entre $2$ deja residuo $1,$ es:

A number which when divided by $10$ leaves a remainder of $9,$ when divided by $9$ leaves a remainder of $8,$ by $8$ leaves a remainder of $7,$ etc., down to where, when divided by $2,$ it leaves a remainder of $1,$ is:

$59$

$419$

$1259$

$2519$

Ninguna de las anteriores

None of these answers

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Al sumar $1$ al número buscado se eliminan todos los residuos indicados

Adding $1$ to the desired number removes every listed remainder

Pista grande:

Halla $\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)$

Find $\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)$

Solución:

Si el número es $N,$ entonces $N+1$ es divisible por todos los enteros desde $2$ hasta $10.$ Su mínimo común múltiplo es $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.$ Por lo tanto, el menor número positivo que satisface todas las condiciones es $N=2520-1=2519.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the number is $N,$ then $N+1$ is divisible by every integer from $2$ through $10.$ Their least common multiple is $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.$ Thus the least positive number fitting all the conditions is $N=2520-1=2519.$

Thus, the correct answer is D.

38.

Para que una vía férrea cruce una montaña se requiere un ascenso de $600$ pies. La pendiente puede reducirse alargando la vía y haciéndola rodear la cumbre. La longitud adicional de vía necesaria para reducir la pendiente del $3\%$ al $2\%$ es aproximadamente:

A rise of $600$ feet is required to get a railroad line over a mountain. The grade can be kept down by lengthening the track and curving it around the mountain peak. The additional length of track required to reduce the grade from $3\%$ to $2\%$ is approximately:

$10{,}000$ pies

$10{,}000$ ft.

$20{,}000$ pies

$20{,}000$ ft.

$30{,}000$ pies

$30{,}000$ ft.

$12{,}000$ pies

$12{,}000$ ft.

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La pendiente es el ascenso dividido entre la longitud de la vía

Grade is rise divided by track length

Pista grande:

Compara $\frac{600}{0.03}$ con $\frac{600}{0.02}$

Compare $\frac{600}{0.03}$ with $\frac{600}{0.02}$

Solución:

Una pendiente del $3\%$ requiere aproximadamente $\frac{600}{0.03}=20{,}000$ pies de vía, mientras que una pendiente del $2\%$ requiere $\frac{600}{0.02}=30{,}000$ pies. La longitud adicional es de $10{,}000$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A $3\%$ grade requires about $\frac{600}{0.03}=20{,}000$ feet of track, while a $2\%$ grade requires $\frac{600}{0.02}=30{,}000$ feet. The additional length is $10{,}000$ feet.

Thus, the correct answer is A.

39.

Se deja caer una piedra en un pozo y se oye el sonido de la piedra al golpear el fondo $7.7$ segundos después de soltarla. Suponga que la piedra cae $16t^2$ pies en $t$ segundos y que la velocidad del sonido es de $1120$ pies por segundo. La profundidad del pozo es:

A stone is dropped into a well and the report of the stone striking the bottom is heard $7.7$ seconds after it is dropped. Assume that the stone falls $16t^2$ feet in $t$ seconds and that the velocity of sound is $1120$ feet per second. The depth of the well is:

$784$ pies

$784$ ft.

$342$ pies

$342$ ft.

$1568$ pies

$1568$ ft.

$156.8$ pies

$156.8$ ft.

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo cuadrática

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

El tiempo total es el tiempo de caída más el tiempo que tarda el sonido en regresar

The total time is the falling time plus the sound’s return time

Pista grande:

Si el tiempo de caída es $t$ , resuelve $t+\dfrac{16t^2}{1120}=7.7$

If the falling time is $t$ , solve $t+\dfrac{16t^2}{1120}=7.7$

Solución:

Si la piedra cae durante $t$ segundos, la profundidad es $16t^2,$ y el sonido tarda $\frac{16t^2}{1120}=\frac{t^2}{70}$ segundos en regresar. Por consiguiente, $t+\frac{t^2}{70}=7.7,$ o $t^2+70t-539=0.$ La raíz positiva es $t=7,$ lo que da una profundidad de $16(7^2)=784$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the stone falls for $t$ seconds, the depth is $16t^2,$ and the sound takes $\frac{16t^2}{1120}=\frac{t^2}{70}$ seconds to return. Hence $t+\frac{t^2}{70}=7.7,$ or $t^2+70t-539=0.$ The positive root is $t=7,$ giving depth $16(7^2)=784$ feet.

Thus, the correct answer is A.

40.

La expresión $\begin{aligned} &\left(\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x^3+1)^2}\right)^2\\ &\quad{}\cdot \left(\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}{(x^3-1)^2}\right)^2 \end{aligned}$ es igual a:

The expression $\begin{aligned} &\left(\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x^3+1)^2}\right)^2\\ &\quad{}\cdot \left(\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}{(x^3-1)^2}\right)^2 \end{aligned}$ equals:

$(x+1)^4$

$(x^3+1)^4$

$1$

$\big[(x^3+1)(x^3-1)\big]^2$

$\big[(x^3-1)^2\big]^2$

Respuesta: C

Conceptos:suma y diferencia de cubos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Factoriza $x^3+1$ y $x^3-1$

Factor $x^3+1$ and $x^3-1$

Pista grande:

Usa $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ y la fórmula análoga para la diferencia

Use $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ and the analogous difference formula

Solución:

Como $\begin{aligned} x^3+1&=(x+1)(x^2-x+1),\\ x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1), \end{aligned}$ cada fracción entre paréntesis es igual a $1$ donde la expresión original está definida. Por lo tanto, el producto de sus cuadrados es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $\begin{aligned} x^3+1&=(x+1)(x^2-x+1),\\ x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1), \end{aligned}$ each fraction inside parentheses equals $1$ wherever the original expression is defined. Their squared product is therefore $1.$

Thus, the correct answer is C.

41.

La fórmula que expresa la relación entre $x$ y $y$ en la tabla es:

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$0$	$2$	$6$	$12$	$20$

The formula expressing the relationship between $x$ and $y$ in the table is:

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$0$	$2$	$6$	$12$	$20$

$y=2x-4$

$y=x^2-3x+2$

$y=x^3-3x^2+2x$

$y=x^2-4x$

$y=x^2-4$

Respuesta: B

Conceptos:interpretación de datos y gráficas cuadrática reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Las primeras diferencias $2,4,6,8$ sugieren una regla cuadrática

The first differences $2,4,6,8$ suggest a quadratic rule

Pista grande:

Los valores son $(x-1)(x-2)$

The values are $(x-1)(x-2)$

Solución:

Los valores de $y$ se factorizan naturalmente como $\begin{gathered} 0=1\cdot0,\quad 2=2\cdot1,\quad 6=3\cdot2,\\ 12=4\cdot3,\quad 20=5\cdot4. \end{gathered}$ Por lo tanto, $y=(x-1)(x-2)$ y, en consecuencia, $y=x^2-3x+2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The $y$ -values factor naturally as $\begin{gathered} 0=1\cdot0,\quad 2=2\cdot1,\quad 6=3\cdot2,\\ 12=4\cdot3,\quad 20=5\cdot4. \end{gathered}$ Thus $y=(x-1)(x-2)$ and hence $y=x^2-3x+2.$

Thus, the correct answer is B.

42.

Si $x$ es igual a $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}},$ entonces:

If $x$ equals $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}},$ then:

$x=1$

$0\lt x\lt1$

$1\lt x\lt2$

$x$ es infinito

$x$ is infinite

$x\gt2$ , pero es finito

$x\gt2$ but finite

Respuesta: C

Conceptos:radical recursión cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

La expresión bajo el primer radical contiene otra copia de $x$

The expression under the first radical contains another copy of $x$

Pista grande:

Resuelve $x=\sqrt{1+x}$ y conserva la raíz no negativa

Solve $x=\sqrt{1+x}$ and keep the nonnegative root

Solución:

La cola repetitiva da $x=\sqrt{1+x},$ por lo que $x^2-x-1=0.$ Como $x\ge0,$ se tiene $x=\frac{1+\sqrt5}{2},$ que está estrictamente entre $1$ y $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The repeating tail gives $x=\sqrt{1+x},$ so $x^2-x-1=0.$ Since $x\ge0,$ $x=\frac{1+\sqrt5}{2},$ which lies strictly between $1$ and $2.$

Thus, the correct answer is C.

43.

De las siguientes afirmaciones, la única incorrecta es:

Of the following statements, the only one that is incorrect is:

Una desigualdad seguirá siendo verdadera si a ambos miembros se les suma, resta, multiplica o divide (excluyendo cero) por la misma cantidad positiva.

An inequality will remain true after each side is increased, decreased, multiplied, or divided (zero excluded) by the same positive quantity.

La media aritmética de dos cantidades positivas distintas es mayor que su media geométrica.

The arithmetic mean of two unequal positive quantities is greater than their geometric mean.

Si se fija la suma de dos cantidades positivas, su producto es máximo cuando son iguales.

If the sum of two positive quantities is given, their product is largest when they are equal.

Si $a$ y $b$ son positivos y distintos, $\dfrac12(a^2+b^2)$ es mayor que $\left[\dfrac12(a+b)\right]^2.$

If $a$ and $b$ are positive and unequal, $\dfrac12(a^2+b^2)$ is greater than $\left[\dfrac12(a+b)\right]^2.$

Si se fija el producto de dos cantidades positivas, su suma es máxima cuando son iguales.

If the product of two positive quantities is given, their sum is greatest when they are equal.

Respuesta: E

Conceptos:Desigualdad MA-MG optimización

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Para un producto positivo fijo, compara la suma cuando los factores son iguales con las sumas de factores cada vez más desiguales

For a fixed positive product, compare the sum at equality with sums from increasingly unequal factors

Pista grande:

La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica da un mínimo, no un máximo, para la suma cuando el producto está fijado

AM-GM gives a minimum, not a maximum, for the sum when the product is fixed

Solución:

Si $uv=P\gt0,$ entonces $u+v\ge2\sqrt P,$ con igualdad cuando $u=v.$ Por lo tanto, la igualdad da la menor suma posible. La suma puede crecer sin límite tomando $u$ grande y $v=\frac{P}{u}$ pequeño, así que no es máxima cuando los factores son iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $uv=P\gt0,$ then $u+v\ge2\sqrt P,$ with equality at $u=v.$ Thus equality gives the least possible sum. The sum can grow without bound by taking $u$ large and $v=\frac{P}{u}$ small, so it is not greatest at equality.

Thus, the correct answer is E.

44.

Si $\dfrac{xy}{x+y}=a,$ $\dfrac{xz}{x+z}=b,$ y $\dfrac{yz}{y+z}=c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son distintos de cero, entonces $x$ es igual a:

If $\dfrac{xy}{x+y}=a,$ $\dfrac{xz}{x+z}=b,$ and $\dfrac{yz}{y+z}=c,$ where $a,$ $b,$ $c$ are other than zero, then $x$ equals:

$\dfrac{abc}{ab+ac+bc}$

$\dfrac{2abc}{ab+bc+ac}$

$\dfrac{2abc}{ab+ac-bc}$

$\dfrac{2abc}{ab+bc-ac}$

$\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Invierte las tres ecuaciones dadas para hacerlas lineales en $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$

Invert all three given equations to make them linear in $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$

Pista grande:

Calcula $\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x$

Compute $\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x$

Solución:

Al invertir se obtiene $\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered}$ Al sumar las dos primeras ecuaciones y restar la tercera se obtiene $\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned}$ Por consiguiente, $x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Inverting gives $\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered}$ Adding the first two and subtracting the third yields $\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned}$ Hence $x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.$

Thus, the correct answer is E.

45.

Si se dan $\log 8=0.9031$ y $\log 9=0.9542,$ el único logaritmo que no puede hallarse sin usar tablas es:

If you are given $\log 8=0.9031$ and $\log 9=0.9542,$ then the only logarithm that cannot be found without the use of tables is:

$\log 17$

$\log(\frac{5}{4})$

$\log 15$

$\log 600$

$\log 0.4$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Los dos valores dados determinan $\log2$ y $\log3$

The two given values determine $\log2$ and $\log3$

Pista grande:

Usa $\log5=1-\log2$ y determina qué opción tiene un factor primo distinto de $2,3,5$

Use $\log5=1-\log2$ , then see which choice has a prime factor other than $2,3,5$

Solución:

A partir de los datos, $\begin{gathered} \log2=\frac13\log8,\\ \log3=\frac12\log9, \end{gathered}$ y $\log5=1-\log2.$ Por lo tanto, se pueden calcular los logaritmos de productos y cocientes de potencias de $2,3,5$ . El número $17$ no tiene ninguno de esos factores primos, por lo que los datos no determinan su logaritmo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From the data, $\begin{gathered} \log2=\frac13\log8,\\ \log3=\frac12\log9, \end{gathered}$ and $\log5=1-\log2.$ Therefore logarithms of products and quotients of powers of $2,3,5$ can be computed. The number $17$ has none of those prime factors, so its logarithm is not determined by the data.

Thus, the correct answer is A.

46.

$\overline{AB}$ es un diámetro fijo de un círculo cuyo centro es $O.$ Desde $C,$ un punto cualquiera del círculo, se traza una cuerda $\overline{CD}$ perpendicular a $\overline{AB}.$ Entonces, mientras $C$ recorre un semicírculo, la bisectriz del ángulo $OCD$ corta el círculo en un punto que siempre:

$\overline{AB}$ is a fixed diameter of a circle whose center is $O.$ From $C,$ any point on the circle, a chord $\overline{CD}$ is drawn perpendicular to $\overline{AB}.$ Then, as $C$ moves over a semicircle, the bisector of angle $OCD$ cuts the circle in a point that always:

Biseca el arco $AB$

Bisects the arc $AB$

Triseca el arco $AB$

Trisects the arc $AB$

Varía

Varies

Está a la misma distancia de $\overline{AB}$ que de $D$

Is as far from $\overline{AB}$ as from $D$

Equidista de $B$ y $C$

Is equidistant from $B$ and $C$

Respuesta: A

Conceptos:círculo bisectriz arco

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Prolonga $\overline{CO}$ a través del centro hasta el punto opuesto $E$ del círculo

Extend $\overline{CO}$ through the center to the opposite point $E$ of the circle

Pista grande:

Como $CE$ es un diámetro y $CD\perp AB,$ la bisectriz del ángulo en $C$ biseca el arco $DE$

Because $CE$ is a diameter and $CD\perp AB,$ the angle bisector at $C$ bisects arc $DE$

Solución:

Prolongamos $CO$ hasta que vuelva a cortar el círculo en $E.$ Como $CE$ es un diámetro, $\angle CDE=90^\circ.$ Además, $CD\perp AB,$ por lo que $DE\parallel AB.$ Si la bisectriz de $\angle OCD=\angle ECD$ corta el círculo en $P,$ los ángulos inscritos iguales determinan arcos iguales $EP=PD.$ Como los extremos de la cuerda paralela $DE$ están situados simétricamente con respecto al diámetro fijo $AB,$ el punto medio $P$ de su arco es el punto medio del arco $AB.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Extend $CO$ to meet the circle again at $E.$ Since $CE$ is a diameter, $\angle CDE=90^\circ.$ Also $CD\perp AB,$ so $DE\parallel AB.$ If the bisector of $\angle OCD=\angle ECD$ meets the circle at $P,$ equal inscribed angles give equal arcs $EP=PD.$ Because the parallel chord $DE$ has endpoints symmetrically placed relative to the fixed diameter $AB,$ their arc midpoint $P$ is the midpoint of arc $AB.$

Thus, the correct answer is A.

47.

Si $r$ y $s$ son las raíces de la ecuación $ax^2+bx+c=0,$ el valor de $\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}$ es:

If $r$ and $s$ are the roots of the equation $ax^2+bx+c=0,$ the value of $\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}$ is:

$b^2-4ac$

$\dfrac{b^2-4ac}{2a}$

$\dfrac{b^2-4ac}{c^2}$

$\dfrac{b^2-2ac}{c^2}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe la expresión sobre el denominador común $r^2s^2$

Write the expression over the common denominator $r^2s^2$

Pista grande:

Usa $r+s=-\frac{b}{a}$ y $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta’s formulas, $r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.$ Therefore $\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

48.

El área de un cuadrado inscrito en un semicírculo es al área del cuadrado inscrito en el círculo completo como:

The area of a square inscribed in a semicircle is to the area of the square inscribed in the entire circle as:

$1:2$

$2:3$

$2:5$

$3:4$

$3:5$

Respuesta: C

Conceptos:círculo cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Sea $R$ el radio del círculo y $s$ el lado del cuadrado inscrito en el semicírculo

Let the circle have radius $R$ and the semicircle-square have side $s$

Pista grande:

Para el cuadrado del semicírculo, uno de los vértices superiores da $(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2$

For the semicircle-square, a top vertex gives $(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2$

Solución:

Para el cuadrado del semicírculo, colocamos su base sobre el diámetro. Un vértice superior está a una distancia horizontal $\frac{s}{2}$ del centro y a una distancia vertical $s,$ por lo que $\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,$ de donde $s^2=\frac{4R^2}{5}.$ Un cuadrado inscrito en el círculo completo tiene diagonal $2R,$ y por tanto área $2R^2.$ La razón es $\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the square in the semicircle, put its base on the diameter. A top vertex has horizontal distance $\frac{s}{2}$ from the center and vertical distance $s,$ so $\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,$ giving $s^2=\frac{4R^2}{5}.$ A square inscribed in the full circle has diagonal $2R,$ hence area $2R^2.$ The ratio is $\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.$

Thus, the correct answer is C.

49.

Las medianas de un triángulo rectángulo trazadas desde los vértices de los ángulos agudos miden $5$ y $\sqrt{40}.$ La longitud de la hipotenusa es:

The medians of a right triangle which are drawn from the vertices of the acute angles are $5$ and $\sqrt{40}.$ The value of the hypotenuse is:

$10$

$2\sqrt{40}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt{13}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: D

Conceptos:mediana (geometría)triángulo rectángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Sean $a,b$ los catetos y coloca el ángulo recto en su extremo común

Let the legs be $a,b$ and place the right angle at their common endpoint

Pista grande:

Las longitudes de las dos medianas dan $a^2+\frac{b^2}{4}=25$ y $\frac{a^2}{4}+b^2=40$

The two median lengths give $a^2+\frac{b^2}{4}=25$ and $\frac{a^2}{4}+b^2=40$

Solución:

Sean los catetos $a,b.$ Los cuadrados de las medianas trazadas desde los vértices agudos opuestos satisfacen $a^2+\frac{b^2}{4}=25,\qquad \frac{a^2}{4}+b^2=40.$ Al resolver se obtiene $a^2=16$ y $b^2=36.$ Por lo tanto, la hipotenusa $c$ satisface $c^2=a^2+b^2=52,$ de donde $c=2\sqrt{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the legs be $a,b.$ The medians from their opposite acute vertices have squared lengths $a^2+\frac{b^2}{4}=25,\qquad \frac{a^2}{4}+b^2=40.$ Solving gives $a^2=16$ and $b^2=36.$ Thus the hypotenuse $c$ satisfies $c^2=a^2+b^2=52,$ so $c=2\sqrt{13}.$

Thus, the correct answer is D.

50.

Tom, Dick y Harry emprendieron un viaje de $100$ millas. Tom y Harry fueron en automóvil a $25$ millas por hora, mientras que Dick caminó a $5$ millas por hora. Después de cierta distancia, Harry bajó del automóvil y siguió caminando a $5$ millas por hora, mientras Tom regresó por Dick y lo llevó al destino al mismo tiempo que llegó Harry. El número de horas necesarias para el viaje fue:

Tom, Dick, and Harry started out on a $100$ -mile journey. Tom and Harry went by automobile at the rate of $25$ mph, while Dick walked at the rate of $5$ mph. After a certain distance, Harry got off and walked on at $5$ mph, while Tom went back for Dick and got him to the destination at the same time that Harry arrived. The number of hours required for the trip was:

$5$

$6$

$7$

$8$

Ninguna de las anteriores

None of these answers

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Separa el movimiento del automóvil en el primer trayecto hacia adelante, el regreso por Dick y el trayecto final hacia adelante

Separate the car’s motion into the first forward trip, the return for Dick, and the final forward trip

Pista grande:

Si esos tiempos son $t_1,t_2,t_3$ , escribe una ecuación de $100$ millas para el automóvil, otra para Dick y otra para Harry

If those times are $t_1,t_2,t_3$ , write one $100$ -mile equation for the car, Dick, and Harry

Solución:

Sean $t_1,t_2,t_3$ los tiempos del automóvil antes de que Harry baje, mientras regresa por Dick y mientras lleva a Dick hacia adelante, respectivamente. El automóvil, Dick y Harry recorren cada uno $100$ millas, lo que da $\begin{aligned} 25t_1-25t_2+25t_3&=100,\\ 5t_1+5t_2+25t_3&=100,\\ 25t_1+5t_2+5t_3&=100. \end{aligned}$ Al dividir entre $5$ y resolver se obtiene $t_1=3,\ t_2=2,\ t_3=3.$ Por lo tanto, el tiempo común del viaje es $t_1+t_2+t_3=8$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $t_1,t_2,t_3$ be the car’s times before Harry leaves it, while it returns for Dick, and while it carries Dick forward. The car, Dick, and Harry each cover $100$ miles, giving $\begin{aligned} 25t_1-25t_2+25t_3&=100,\\ 5t_1+5t_2+25t_3&=100,\\ 25t_1+5t_2+5t_3&=100. \end{aligned}$ Dividing by $5$ and solving yields $t_1=3,\ t_2=2,\ t_3=3.$ Therefore the common travel time is $t_1+t_2+t_3=8$ hours.

Thus, the correct answer is D.

Problemas del 1951 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

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Respuesta: C

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Respuesta: C

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Respuesta: E

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Respuesta: C

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