Question

Si $\triangle ABC$ está inscrito en un semicírculo cuyo diámetro es $\overline{AB},$ entonces $\overline{AC}+\overline{BC}$ debe ser:

If $\triangle ABC$ is inscribed in a semicircle whose diameter is $\overline{AB},$ then $\overline{AC}+\overline{BC}$ must be:

Igual a $\overline{AB}$

Equal to $\overline{AB}$

Igual a $\overline{AB}\sqrt2$

Equal to $\overline{AB}\sqrt2$

$\ge \overline{AB}\sqrt2$

$\le \overline{AB}\sqrt2$

$\overline{AB}^{\,2}$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

El ángulo que subtiende el diámetro es recto

The angle subtending the diameter is a right angle

Pista grande:

Para los catetos $a,b$ , compara $(a+b)^2$ con $2(a^2+b^2)$

For legs $a,b$ , compare $(a+b)^2$ with $2(a^2+b^2)$

Solución:

Por el teorema de Tales, $AC$ y $BC$ son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $AB.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned}$ Al tomar raíces cuadradas positivas se obtiene $AC+BC\le AB\sqrt2,$ con igualdad en un triángulo rectángulo isósceles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Thales’ theorem, $AC$ and $BC$ are the legs of a right triangle with hypotenuse $AB.$ Therefore $\begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned}$ Taking positive square roots gives $AC+BC\le AB\sqrt2,$ with equality for an isosceles right triangle.

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 Problema 32

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años