Question

En el cuadrilátero $ABCD$ , cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $O,$ se tiene $BO=4,$ $OD=6,$ $AO=8,$ $OC=3,$ y $AB=6.$ La longitud de $AD$ es:

In quadrilateral $ABCD$ with diagonals $AC$ and $BD$ intersecting at $O,$ $BO=4,$ $OD=6,$ $AO=8,$ $OC=3,$ and $AB=6.$ The length of $AD$ is:

$9$

$10$

$6\sqrt3$

$8\sqrt2$

$\sqrt{166}$

Respuesta: E

Conceptos:ley de los cosenos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Usa el triángulo $AOB$ para hallar $\cos\angle AOB$

Use triangle $AOB$ to find $\cos\angle AOB$

Pista grande:

Los ángulos $AOB$ y $AOD$ son suplementarios

Angles $AOB$ and $AOD$ are supplementary

Solución:

En el triángulo $AOB,$ $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.$ Al aplicar la ley de los cosenos en el triángulo $AOD$ , se obtiene $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}$ Así que $AD=\sqrt{166}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In triangle $AOB,$ $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}$ Therefore $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.$ Applying the law of cosines in triangle $AOD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}$ Hence $AD=\sqrt{166}.$

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 Problema 32

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años