Question

Sea $M$ el punto medio del lado $AB$ del triángulo $ABC.$ Sea $P$ un punto de $AB$ entre $A$ y $M,$ y trácese $MD$ paralela a $PC$ , que corta a $BC$ en $D.$ Si la razón entre el área del triángulo $BPD$ y la del triángulo $ABC$ se denota por $r,$ entonces:

Let $M$ be the midpoint of side $AB$ of triangle $ABC.$ Let $P$ be a point on $AB$ between $A$ and $M,$ and let $MD$ be drawn parallel to $PC$ and intersecting $BC$ at $D.$ If the ratio of the area of triangle $BPD$ to that of triangle $ABC$ is denoted by $r,$ then:

$\dfrac12\lt r\lt1$ , según la posición de $P$

$\dfrac12\lt r\lt1$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac12$ , independientemente de la posición de $P$

$r=\dfrac12$ independent of the position of $P$

$\dfrac12\leq r\lt1$ , según la posición de $P$

$\dfrac12\leq r\lt1$ depending upon the position of $P$

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ , según la posición de $P$

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac13$ , independientemente de la posición de $P$

$r=\dfrac13$ independent of the position of $P$

Respuesta: B

Conceptos:razón de áreas mediana (geometría)rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Los triángulos $MDP$ y $MDC$ tienen bases iguales sobre rectas paralelas

Triangles $MDP$ and $MDC$ have equal bases on parallel lines

Pista grande:

Suma sus áreas a $[BMD]$ y usa que $CM$ es una mediana

Add their areas to $[BMD]$ and use that $CM$ is a median

Solución:

Como $MD\parallel PC,$ los triángulos $MDP$ y $MDC$ tienen la misma base $MD$ y alturas iguales, así que sus áreas son iguales. Por ello, $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Como $CM$ es una mediana, $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.$ Así, $r=\frac{1}{2}$ para todo $P$ permitido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $MD\parallel PC,$ triangles $MDP$ and $MDC$ have the same base $MD$ and equal altitudes, so their areas are equal. Hence $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $CM$ is a median, $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.$ Thus $r=\frac{1}{2}$ for every allowed $P.$

Therefore, the correct answer is B.

1966 AMC 12 Problema 32

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años