Question

El triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo de centro $O'.$ Un círculo de centro $O$ está inscrito en el triángulo $ABC.$ Se traza $AO$ y se prolonga hasta cortar el círculo mayor en $D.$ Entonces necesariamente:

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center $O'.$ A circle with center $O$ is inscribed in triangle $ABC.$ $AO$ is drawn, and extended to intersect the larger circle in $D.$ Then we must have:

$CD=BD=O'D$

$AO=CO=OD$

$CD=CO=BD$

$CD=OD=BD$

$O'B=O'C=OD$

Respuesta: D

Conceptos:persecución de ángulos circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio circunferencia inscrita, incentro e inradio

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

La recta $AD$ biseca $\angle A,$ por lo que $D$ es el punto medio del arco $BC$

Line $AD$ bisects $\angle A,$ so $D$ is the midpoint of arc $BC$

Pista grande:

Compara los ángulos del triángulo $COD$ para demostrar $CD=OD$

Compare angles in triangle $COD$ to show $CD=OD$

Solución:

Como $AO$ es una bisectriz, los ángulos inscritos $\angle BAD$ y $\angle CAD$ son iguales. Por ello, los arcos $BD$ y $CD$ , y por consiguiente las cuerdas $BD$ y $CD,$ son iguales.

Sean $\angle BAD=\alpha$ y $\angle BCO=\beta.$ Entonces $\angle OCD=\alpha+\beta.$ En el triángulo $AOC,$ el ángulo exterior $\angle COD$ también es $\alpha+\beta.$ Así, $CD=OD,$ por lo que $CD=OD=BD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $AO$ is an angle bisector, the inscribed angles $\angle BAD$ and $\angle CAD$ are equal. Hence arcs $BD$ and $CD$ , and therefore chords $BD$ and $CD,$ are equal.

Let $\angle BAD=\alpha$ and $\angle BCO=\beta.$ Then $\angle OCD=\alpha+\beta.$ In triangle $AOC,$ the exterior angle $\angle COD$ also equals $\alpha+\beta.$ Thus $CD=OD,$ so $CD=OD=BD.$

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 Problema 31

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años