Question

Sea $OABC$ un cuadrado unitario en el plano $xy$ , con $O(0,0),$ $A(1,0),$ $B(1,1),$ y $C(0,1).$ Sean $u=x^2-y^2$ y $v=2xy$ las ecuaciones que definen una transformación del plano $xy$ al plano $uv$ . La transformada (o imagen) del cuadrado es:

Let $OABC$ be a unit square in the $xy$ -plane with $O(0,0),$ $A(1,0),$ $B(1,1),$ and $C(0,1).$ Let $u=x^2-y^2$ and $v=2xy$ define a transformation of the $xy$ -plane into the $uv$ -plane. The transform (or image) of the square is:

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica parábola transformación

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Halla la imagen de los cuatro vértices y luego transforma cada lado por separado

Map the four vertices and then transform each side separately

Pista grande:

Los lados horizontales y verticales se convierten en dos segmentos y dos arcos parabólicos

The horizontal sides and vertical sides become two line segments and two parabolic arcs

Solución:

Los vértices se transforman así: $\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}$ El lado $OA$ se transforma en el segmento de $(0,0)$ a $(1,0),$ y $CO$ en el segmento de $(-1,0)$ a $(0,0).$ En $AB,$ $x=1,$ por lo que $u=1-\frac{v^2}{4};$ en $BC,$ $y=1,$ por lo que $u=\frac{v^2}{4}-1.$ Estos son los dos arcos parabólicos superiores que unen $(\pm1,0)$ con $(0,2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertices map as $\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}$ Side $OA$ maps to the segment from $(0,0)$ to $(1,0),$ and $CO$ maps to the segment from $(-1,0)$ to $(0,0).$ On $AB,$ $x=1,$ so $u=1-\frac{v^2}{4};$ on $BC,$ $y=1,$ so $u=\frac{v^2}{4}-1.$ These are the two upper parabolic arcs joining $(\pm1,0)$ to $(0,2).$

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 Problema 31

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años