Question

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia y el lado $AD$ es un diámetro de longitud $4.$ Si los lados $AB$ y $BC$ tienen longitud $1,$ entonces el lado $CD$ tiene longitud:

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with side $AD,$ a diameter of length $4.$ If sides $AB$ and $BC$ each have length $1,$ then side $CD$ has length:

$\frac{7}{2}$

$\frac{5\sqrt2}{2}$

$\sqrt{11}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:círculo cuerda identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Las cuerdas iguales $AB$ y $BC$ subtienden ángulos centrales iguales

Equal chords $AB$ and $BC$ subtend equal central angles

Pista grande:

Si la mitad de cualquiera de esos ángulos centrales es $t$ , entonces $4\sin t=1$ y $CD=4\cos(2t)$

If half of either central angle is $t$ , then $4\sin t=1$ and $CD=4\cos(2t)$

Solución:

La circunferencia tiene radio $2.$ Sean $2t$ los ángulos centrales subtendidos por las cuerdas iguales $AB$ y $BC$ . Entonces $1=4\sin t,$ por lo que $\sin t=\frac{1}{4}.$ El ángulo central restante desde $C$ hasta $D$ a lo largo del semicírculo es $\pi-4t,$ y por tanto $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle has radius $2.$ Let the central angles subtending the equal chords $AB$ and $BC$ each be $2t.$ Then $1=4\sin t,$ so $\sin t=\frac{1}{4}.$ The remaining central angle from $C$ to $D$ along the semicircle is $\pi-4t,$ hence $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1971 AMC 12 Problema 31

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años