Question

Un triángulo equilátero de lado $2$ se divide en un triángulo y un trapecio mediante una recta paralela a uno de sus lados. Si el área del trapecio es igual a la mitad del área del triángulo original, la longitud de la mediana del trapecio es:

An equilateral triangle whose side is $2$ is divided into a triangle and a trapezoid by a line drawn parallel to one of its sides. If the area of the trapezoid equals one-half of the area of the original triangle, the length of the median of the trapezoid is:

$\dfrac{\sqrt6}{2}$

$\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$\dfrac{2+\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2\sqrt3-\sqrt6}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:similar triangles trapezoid midsegment razón de áreas

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El triángulo pequeño tiene la mitad del área original; determina su lado usando semejanza

The small triangle has half the original area, so determine its side using similarity

Pista grande:

La mediana del trapecio es el promedio de las longitudes de sus dos lados paralelos

The trapezoid median is the average of its two parallel side lengths

Solución:

El triángulo pequeño también tiene la mitad del área original. Si su lado paralelo a la base original tiene longitud $b,$ la semejanza da $\left(\frac b2\right)^2=\frac12,$ de modo que $b=\sqrt2.$ Los lados paralelos del trapecio miden $2$ y $\sqrt2,$ así que su mediana mide $\frac{2+\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The small triangle also has half the original area. If its side parallel to the original base has length $b,$ similarity gives $\left(\frac b2\right)^2=\frac12,$ so $b=\sqrt2.$ The parallel sides of the trapezoid have lengths $2$ and $\sqrt2,$ so its median has length $\frac{2+\sqrt2}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

1955 AMC 12 Problema 31

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años