Question

Considérese un cuadrado de área $40,$ inscrito en un semicírculo. El área de un cuadrado que podría inscribirse en el círculo completo con el mismo radio es:

A square, with an area of $40,$ is inscribed in a semicircle. The area of a square that could be inscribed in the entire circle with the same radius is:

$80$

$100$

$120$

$160$

$200$

Respuesta: B

Conceptos:círculo cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $s$ el lado del primer cuadrado y coloca su lado inferior sobre el diámetro del semicírculo

Let the first square have side $s$ and place its lower side on the semicircle’s diameter

Pista grande:

Respecto del centro, un vértice superior tiene coordenada horizontal $\frac{s}{2}$ y coordenada vertical $s$

A top vertex has horizontal coordinate $\frac{s}{2}$ and vertical coordinate $s$ relative to the center

Solución:

Sean $r$ el radio del semicírculo y $s$ el lado del cuadrado, donde $s^2=40.$ Un vértice superior del cuadrado está a $\frac{s}{2}$ horizontalmente y $s$ verticalmente del centro, así que $r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.$ Un cuadrado inscrito en el círculo completo tiene diagonal $2r,$ y por tanto área $2r^2=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the semicircle have radius $r$ and the square have side $s,$ where $s^2=40.$ A top vertex of the square is $\frac{s}{2}$ horizontally and $s$ vertically from the center, so $r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.$ A square inscribed in the full circle has diagonal $2r,$ hence area $2r^2=100.$

Thus, the correct answer is B.

1959 AMC 12 Problema 31

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años