Question

El número de valores reales de $x$ que satisfacen la igualdad $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,$ donde $a$ y $b$ son constantes positivas distintas de $1,$ es:

The number of real values of $x$ satisfying the equality $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,$ where $a$ and $b$ are positive constants different from $1,$ is:

$0$

$1$

$2$

un entero mayor que $2$

an integer greater than $2$

no finito

not finite

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Escribe cada logaritmo con logaritmos naturales

Write every logarithm with natural logs

Pista grande:

La ecuación se reduce a $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

The equation reduces to $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

Solución:

El cambio de base da $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.$ Como los denominadores no son cero, $(\ln x)^2=(\ln b)^2.$ Así, $x=b$ o $x=\frac{1}{b}.$ Estos valores son distintos porque $b\ne1,$ por lo que hay dos valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Change of base gives $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.$ Since the denominators are nonzero, $(\ln x)^2=(\ln b)^2.$ Thus $x=b$ or $x=\frac{1}{b}.$ These are distinct because $b\ne1,$ so there are two values.

Therefore, the correct answer is C.

1965 AMC 12 Problema 31

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años