Question

若 $a$ 和 $b$ 是不等于 $1$ 的正常数，则满足等式 $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b$ 的实数 $x$ 的个数为：

The number of real values of $x$ satisfying the equality $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,$ where $a$ and $b$ are positive constants different from $1,$ is:

$0$

$1$

$2$

一个大于 $2$ 的整数

an integer greater than $2$

不是有限数

not finite

答案：C

知识点：对数二次方程代数变形

难度评级：2000

小提示：

用自然对数表示每个对数

Write every logarithm with natural logs

大提示：

方程可化为 $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

The equation reduces to $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

解答：

换底得 $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}\text{。}$ 由于各分母均不为零， $(\ln x)^2=(\ln b)^2$ 。因此 $x=b$ 或 $x=\frac{1}{b}$ 。因为 $b\ne1$ ，这两个值互不相同，所以共有两个值。

因此，正确答案是 C。

Change of base gives $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.$ Since the denominators are nonzero, $(\ln x)^2=(\ln b)^2.$ Thus $x=b$ or $x=\frac{1}{b}.$ These are distinct because $b\ne1,$ so there are two values.

Therefore, the correct answer is C.

1965 AMC 12 第 31 题

答案：C

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题