Question

四边形 $ABCD$ 内接于一个圆，边 $AD$ 是长为 $4$ 的直径。若边 $AB$ 和 $BC$ 的长度都为 $1$ ，则边 $CD$ 的长度为：

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with side $AD,$ a diameter of length $4.$ If sides $AB$ and $BC$ each have length $1,$ then side $CD$ has length:

$\frac{7}{2}$

$\frac{5\sqrt2}{2}$

$\sqrt{11}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt3$

答案：A

知识点：圆弦三角恒等式

难度评级：2190

小提示：

等弦 $AB$ 与 $BC$ 所对的圆心角相等

Equal chords $AB$ and $BC$ subtend equal central angles

大提示：

若其中任一圆心角的一半为 $t$ ，则 $4\sin t=1$ ，且 $CD=4\cos(2t)$

If half of either central angle is $t$ , then $4\sin t=1$ and $CD=4\cos(2t)$

解答：

该圆的半径为 $2$ 。设等弦 $AB$ 与 $BC$ 所对的圆心角都为 $2t$ 。则 $1=4\sin t\text{，}$ 所以 $\sin t=\frac{1}{4}$ 。沿半圆从 $C$ 到 $D$ 的剩余圆心角为 $\pi-4t$ ，故 $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 A。

The circle has radius $2.$ Let the central angles subtending the equal chords $AB$ and $BC$ each be $2t.$ Then $1=4\sin t,$ so $\sin t=\frac{1}{4}.$ The remaining central angle from $C$ to $D$ along the semicircle is $\pi-4t,$ hence $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1971 AMC 12 第 31 题

答案：A

难度评级：2190

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题