Question

要使 $x^2+2x+5$ 成为 $x^4+px^2+q$ 的因式， $p$ 和 $q$ 的值必须依次为：

For $x^2+2x+5$ to be a factor of $x^4+px^2+q,$ the values of $p$ and $q$ must be, respectively:

$-2$ ， $5$

$-2,$ $5$

$5$ ， $25$

$5,$ $25$

$10$ ， $20$

$10,$ $20$

$6$ ， $25$

$6,$ $25$

$14$ ， $25$

$14,$ $25$

答案：D

知识点：多项式代数变形因数

难度评级：1690

小提示：

对 $x^2+2x+5$ 取模，于是 $x^2=-2x-5$

Work modulo $x^2+2x+5,$ so $x^2=-2x-5$

大提示：

将 $x^4$ 化为一次式，并令余式的两个系数都为零

Reduce $x^4$ to a linear expression and make both remainder coefficients zero

解答：

对 $x^2+2x+5$ 取模，有 $x^2=-2x-5$ 。于是 $x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5\text{。}$ 因此 $\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q) \end{gathered}\text{。}$ 当 $p=6$ 且 $q=25$ 时，两个系数都为零。

因此，正确答案是 D。

Modulo $x^2+2x+5,$ we have $x^2=-2x-5.$ Then $x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5.$ Thus $\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q). \end{gathered}$ Both coefficients vanish when $p=6$ and $q=25.$

Therefore, the correct answer is D.

1960 AMC 12 第 31 题

答案：D

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题