Question

设

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \end{aligned}\text{。}$

则用 $f(n)$ 表示的 $f(n+1)-f(n-1)$ 等于：

Let

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}$

Then $f(n+1)-f(n-1),$ expressed in terms of $f(n),$ equals:

$\dfrac12f(n)$

$f(n)$

$2f(n)+1$

$f^2(n)$

$\dfrac12\left(f^2(n)-1\right)$

答案：B

知识点：递推斐波那契数列指数

难度评级：1900

小提示：

将两个指数式的底数记为 $\alpha$ 和 $\beta$

Call the two exponential bases $\alpha$ and $\beta$

大提示：

$r^2-r-1=0$ 的两个根都满足 $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

Both roots of $r^2-r-1=0$ satisfy $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

解答：

每个底数 $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ 都满足 $r^2=r+1$ ，所以 $r^2-1=r$ 。因此 $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n\text{。}$ 将此恒等式逐项用于定义中的线性组合，得 $f(n+1)-f(n-1)=f(n)$ 。

因此，正确答案是 B。

Each base $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ satisfies $r^2=r+1,$ so $r^2-1=r.$ Therefore $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.$ Applying this identity term by term to the defining linear combination gives $f(n+1)-f(n-1)=f(n).$

Thus, the correct answer is B.

1964 AMC 12 第 31 题

答案：B

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题