Question

两个边长均为单位长度的正多边形的内角之比为 $3:2$ 。这样的多边形对有多少组？

The ratio of the interior angles of two regular polygons with sides of unit length is $3:2.$ How many such pairs are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

无穷多组

infinitely many

答案：C

知识点：正多边形角度和丢番图方程

难度评级：1710

小提示：

对于正 $n$ 边形，一个内角为 $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

For an $n$ -gon, an interior angle is $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

大提示：

若较小的多边形有 $n$ 条边，求出较大多边形的边数，并检验满足 $3\le n\lt6$ 的整数

If the smaller polygon has $n$ sides, solve for the larger side count and test the possible integers $3\le n\lt6$

解答：

设较小和较大的多边形分别有 $n$ 和 $N$ 条边。则 $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32\text{，}$ 解得 $N=\frac{4n}{6-n}$ 。由正数条件及 $N\gt n$ ，可得 $n=3$ 、 $n=4$ 或 $n=5$ 。它们分别给出 $N=4$ 、 $N=8$ 和 $N=20$ 。因此共有 $3$ 组。

所以正确答案是 C。

Let the smaller and larger polygons have $n$ and $N$ sides. Then $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,$ which gives $N=\frac{4n}{6-n}.$ Positivity and $N\gt n$ require $n=3,$ $n=4,$ or $n=5.$ These give $N=4,$ $N=8,$ and $N=20,$ respectively. Thus there are $3$ pairs.

Therefore, the correct answer is C.

1962 AMC 12 第 31 题

答案：C

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题