1962 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

表达式 $\dfrac{1^{4y-1}}{5^{-1}+3^{-1}}$ 等于：

The expression $\dfrac{1^{4y-1}}{5^{-1}+3^{-1}}$ is equal to:

$\dfrac{4y-1}{8}$

$8$

$\dfrac{15}{2}$

$\dfrac{15}{8}$

$\dfrac18$

知识点：指数分数代数变形

难度评级：1140

小提示：

先化简分子中的幂

First simplify the power in the numerator

大提示：

把每个负一次幂改写成倒数

Rewrite each negative first power as a reciprocal

解答：

分子为 $1$ ，而 $5^{-1}+3^{-1}=\frac15+\frac13=\frac8{15}\text{。}$ 因此该表达式等于 $\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}$ 。

所以正确答案是 D。

The numerator is $1,$ while $5^{-1}+3^{-1}=\frac15+\frac13=\frac8{15}.$ Therefore the expression equals $\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

2.

表达式 $\sqrt{\dfrac43}-\sqrt{\dfrac34}$ 等于：

The expression $\sqrt{\dfrac43}-\sqrt{\dfrac34}$ is equal to:

$\dfrac{\sqrt3}{6}$

$-\dfrac{\sqrt3}{6}$

$\dfrac{\sqrt{-3}}6$

$\dfrac{5\sqrt3}{6}$

$1$

知识点：根式分母有理化分数

难度评级：1320

小提示：

把两个根式分别写成 $\frac{2}{\sqrt3}$ 和 $\frac{\sqrt3}{2}$

Write the two radicals as $\frac{2}{\sqrt3}$ and $\frac{\sqrt3}{2}$

大提示：

先通分，再将分母有理化

Use a common denominator before rationalizing

解答：

有 $\frac2{\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4-3}{2\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{6}\text{。}$

所以正确答案是 A。

We have $\frac2{\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4-3}{2\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{6}.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

某等差数列的前三项依次为 $x-1$ 、 $x+1$ 、 $2x+3$ 。 $x$ 的值为：

The first three terms of an arithmetic progression are $x-1,$ $x+1,$ $2x+3,$ in the order shown. The value of $x$ is:

$-2$

$0$

$2$

$4$

无法确定

undetermined

知识点：等差数列一次方程

难度评级：1030

小提示：

等差数列中相邻两项的差相等

Consecutive differences in an arithmetic progression are equal

大提示：

令 $(x+1)-(x-1)$ 等于 $(2x+3)-(x+1)$

Set $(x+1)-(x-1)$ equal to $(2x+3)-(x+1)$

解答：

由相邻项之差相等可得 $2=(2x+3)-(x+1)=x+2\text{，}$ 所以 $x=0$ 。

所以正确答案是 B。

Equality of consecutive differences gives $2=(2x+3)-(x+1)=x+2,$ so $x=0.$

Thus, the correct answer is B.

4.

若 $8^x=32$ ，则 $x$ 等于：

If $8^x=32,$ then $x$ equals:

$4$

$\dfrac53$

$\dfrac32$

$\dfrac35$

$\dfrac14$

知识点：指数代数变形

难度评级：1400

小提示：

把等式两边都写成 $2$ 的幂

Express both sides as powers of $2$

大提示：

在 $2^{3x}=2^5$ 中令指数相等

Equate the exponents in $2^{3x}=2^5$

解答：

因为 $8=2^3$ 且 $32=2^5$ ，原方程化为 $2^{3x}=2^5$ 。因此 $3x=5$ ，且 $x=\frac{5}{3}$ 。

所以正确答案是 B。

Since $8=2^3$ and $32=2^5,$ the equation becomes $2^{3x}=2^5.$ Hence $3x=5$ and $x=\frac{5}{3}.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

若将一个圆的半径增加 $1$ 个单位，则新圆的周长与直径之比为：

If the radius of a circle is increased by $1$ unit, the ratio of the new circumference to the new diameter is:

$\pi+2$

$\dfrac{2\pi+1}{2}$

$\pi$

$\dfrac{2\pi-1}{2}$

$\pi-2$

知识点：圆圆周长比与比例

难度评级：800

小提示：

设新半径为 $R$

Call the new radius $R$

大提示：

用周长 $2\pi R$ 除以直径 $2R$

Divide the circumference $2\pi R$ by the diameter $2R$

解答：

对于任意圆，无论半径多大，周长除以直径都等于 $\frac{2\pi R}{2R}=\pi\text{。}$

所以正确答案是 C。

For every circle, regardless of its radius, the circumference divided by the diameter is $\frac{2\pi R}{2R}=\pi.$

Thus, the correct answer is C.

6.

一个正方形与一个等边三角形的周长相等。该三角形的面积为 $9\sqrt3$ 平方英寸。以英寸为单位，正方形的对角线长为：

A square and an equilateral triangle have equal perimeters. The area of the triangle is $9\sqrt3$ square inches. Expressed in inches the diagonal of the square is:

$\dfrac92$

$2\sqrt5$

$4\sqrt2$

$\dfrac{9\sqrt2}{2}$

以上都不是

none of these

知识点：等边三角形周长对角线面积

难度评级：1410

小提示：

用 $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ 表示三角形的面积

Use $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ for the triangle’s area

大提示：

令两个周长相等，再把正方形的边长乘以 $\sqrt2$

Equate the two perimeters, then multiply the square’s side by $\sqrt2$

解答：

若三角形的边长为 $s$ ，则 $\frac{\sqrt3}{4}s^2=9\sqrt3\text{，}$ 所以 $s=6$ 。其周长为 $18$ ，故正方形边长为 $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$ 。因此正方形的对角线长为 $\frac{9\sqrt2}{2}$ 。

所以正确答案是 D。

If $s$ is the triangle’s side, then $\frac{\sqrt3}{4}s^2=9\sqrt3,$ so $s=6.$ Its perimeter is $18,$ making the square’s side $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.$ The square’s diagonal is therefore $\frac{9\sqrt2}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

7.

设三角形 $ABC$ 在 $B$ 和 $C$ 处的外角平分线交于 $D$ 。若所有角度均以度为单位，则角 $BDC$ 等于：

Let the bisectors of the exterior angles at $B$ and $C$ of triangle $ABC$ meet at $D.$ Then, if all measurements are in degrees, angle $BDC$ equals:

$\dfrac12(90-A)$

$90-A$

$\dfrac12(180-A)$

$180-A$

$180-2A$

知识点：角平分线角度和导角

难度评级：1300

小提示：

每条外角平分线与相应边所成的角为 $90^\circ-\frac{B}{2}$ 或 $90^\circ-\frac{C}{2}$

Each exterior-angle bisector makes an angle $90^\circ-\frac{B}{2}$ or $90^\circ-\frac{C}{2}$ with a side

大提示：

对三角形 $BDC$ 使用内角和，并利用 $B+C=180^\circ-A$

Apply the angle sum in triangle $BDC$ and use $B+C=180^\circ-A$

解答：

三角形 $BDC$ 在 $B$ 和 $C$ 处的角分别为 $90^\circ-\frac{B}{2}$ 和 $90^\circ-\frac{C}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The angles of triangle $BDC$ at $B$ and $C$ are $90^\circ-\frac{B}{2}$ and $90^\circ-\frac{C}{2}.$ Thus $\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

8.

已知一组 $n$ 个数，其中 $n\gt1$ ，一个数是 $1-\dfrac1n$ ，其余各数都是 $1$ 。这 $n$ 个数的算术平均数为：

Given the set of $n$ numbers, $n\gt1,$ of which one is $1-\dfrac1n$ and all the others are $1.$ The arithmetic mean of the $n$ numbers is:

$1$

$n-\dfrac1n$

$n-\dfrac1{n^2}$

$1-\dfrac1{n^2}$

$1-\dfrac1n-\dfrac1{n^2}$

知识点：平均数代数变形

难度评级：1230

小提示：

其中有 $n-1$ 个 $1$

There are $n-1$ copies of $1$

大提示：

将这 $n$ 个数相加，再用总和除以 $n$

Add all $n$ numbers, then divide the sum by $n$

解答：

这些数的总和为 $(n-1)+\left(1-\frac1n\right)=n-\frac1n\text{。}$ 再除以 $n$ ，得到 $1-\frac{1}{n^2}$ 。

所以正确答案是 D。

The sum is $(n-1)+\left(1-\frac1n\right)=n-\frac1n.$ Dividing by $n$ gives $1-\frac{1}{n^2}.$

Thus, the correct answer is D.

9.

将 $x^9-x$ 尽可能完全地分解为具有整数系数的多项式和单项式之积，所得因式的个数为：

When $x^9-x$ is factored as completely as possible into polynomials and monomials with integral coefficients, the number of factors is:

多于 $5$ 个

more than $5$

$5$

$4$

$3$

$2$

知识点：因式分解平方差多项式

难度评级：1280

小提示：

从 $x(x^8-1)$ 开始，反复使用平方差公式

Begin with $x(x^8-1)$ and repeatedly use differences of squares

大提示：

在整数范围内，分解出 $x$ 、 $x-1$ 、 $x+1$ 、 $x^2+1$ 和 $x^4+1$ 后停止

Over the integers, stop after isolating $x,$ $x-1,$ $x+1,$ $x^2+1,$ and $x^4+1$

解答：

在整数范围内分解得 $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1) \end{aligned}\text{。}$ 最后两个非常数因式在整数范围内不可约，所以共有 $5$ 个因式。

所以正确答案是 B。

Factoring over the integers gives $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}$ The last two nonconstant factors are irreducible over the integers, so there are $5$ factors.

Thus, the correct answer is B.

10.

某人开车前往海滨， $150$ 英里的路程用时 $3$ 小时 $20$ 分钟。他从海滨返回出发点用时 $4$ 小时 $10$ 分钟。设全程平均速度为 $r$ 。则去程平均速度比 $r$ 高多少英里每小时？

A man drives $150$ miles to the seashore in $3$ hours and $20$ minutes. He returns from the shore to the starting point in $4$ hours and $10$ minutes. Let $r$ be the average rate for the entire trip. Then the average rate for the trip going exceeds $r,$ in miles per hour, by:

$5$

$4\dfrac12$

$4$

$2$

$1$

知识点：路程、速度与时间单位换算

难度评级：1320

小提示：

用总路程除以总时间求 $r$

Use total distance divided by total time for $r$

大提示：

去程时间为 $\frac{10}{3}$ 小时，往返总时间为 $\frac{15}{2}$ 小时

The outbound time is $\frac{10}{3}$ hours and the round-trip time is $\frac{15}{2}$ hours

解答：

去程速度为每小时 $\frac{150}{\frac{10}{3}}=45$ 英里。全程在 $3\frac13+4\frac16=7\frac12$ 小时内行驶 $300$ 英里，所以 $r=\frac{300}{\frac{15}{2}}=40$ 。速度之差为 $45-40=5$ 。

所以正确答案是 A。

The outbound rate is $\frac{150}{\frac{10}{3}}=45$ miles per hour. The entire trip covers $300$ miles in $3\frac13+4\frac16=7\frac12$ hours, so $r=\frac{300}{\frac{15}{2}}=40.$ The difference is $45-40=5.$

Thus, the correct answer is A.

11.

方程 $x^2-px+\frac{p^2-1}{4}=0$ 的较大根与较小根之差为：

The difference between the larger root and the smaller root of $x^2-px+\frac{p^2-1}{4}=0$ is:

$0$

$1$

$2$

$p$

$p+1$

知识点：二次方程代数变形

难度评级：1110

小提示：

计算该二次方程的判别式

Compute the discriminant of the quadratic

大提示：

两根为 $\frac{p\pm\sqrt{\Delta}}{2}$

The two roots are $\frac{p\pm\sqrt{\Delta}}{2}$

解答：

判别式为 $p^2-4\left(\frac{p^2-1}{4}\right)=1\text{。}$ 两根为 $\frac{p+1}{2}$ 和 $\frac{p-1}{2}$ ，两者之差为 $1$ 。

所以正确答案是 B。

The discriminant is $p^2-4\left(\frac{p^2-1}{4}\right)=1.$ The roots are $\frac{p+1}{2}$ and $\frac{p-1}{2},$ whose difference is $1.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

展开 $\left(1-\dfrac1a\right)^6$ 后，最后三项的系数之和为：

When $\left(1-\dfrac1a\right)^6$ is expanded, the sum of the last three coefficients is:

$22$

$11$

$10$

$-10$

$-11$

知识点：二项式定理求和

难度评级：1210

小提示：

最后三项含有的幂依次为 $a^{-4}$ 、 $a^{-5}$ 和 $a^{-6}$

The last three terms use powers $a^{-4},$ $a^{-5},$ and $a^{-6}$

大提示：

别漏掉 $(-\frac{1}{a})^k$ 所产生的正负号交替

Include the alternating signs from $(-\frac{1}{a})^k$

解答：

最后三项的系数为 $\binom64,\quad-\binom65,\quad\binom66\text{，}$ 所以它们的和为 $15-6+1=10$ 。

所以正确答案是 C。

The last three terms have coefficients $\binom64,\quad-\binom65,\quad\binom66,$ so their sum is $15-6+1=10.$

Thus, the correct answer is C.

13.

$R$ 与 $S$ 成正比，与 $T$ 成反比。当 $R=\dfrac43$ 且 $T=\dfrac9{14}$ 时， $S=\dfrac37$ 。求当 $R=\sqrt{48}$ 且 $T=\sqrt{75}$ 时的 $S$ 。

$R$ varies directly as $S$ and inversely as $T.$ When $R=\dfrac43$ and $T=\dfrac9{14},$ $S=\dfrac37.$ Find $S$ when $R=\sqrt{48}$ and $T=\sqrt{75}.$

$28$

$30$

$40$

$42$

$60$

知识点：比与比例根式代数变形

难度评级：1500

小提示：

将比例关系写成 $R=\frac{kS}{T}$

Write the variation as $R=\frac{kS}{T}$

大提示：

当 $k$ 固定时， $\frac{RT}{S}$ 为常数

For fixed $k,$ the quantity $\frac{RT}{S}$ is constant

解答：

因为 $R=\frac{kS}{T}$ ，所以 $S=\frac{RT}{k}$ 。于是 $\begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &=\frac{R_2T_2}{R_1T_1}\\ &=\frac{\sqrt{48}\sqrt{75}} {(\frac{4}{3})(\frac{9}{14})}\\ &=\frac{60}{\frac{6}{7}}=70 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $S_2=(\frac{3}{7})\cdot70=30$ 。

所以正确答案是 B。

Because $R=\frac{kS}{T},$ we have $S=\frac{RT}{k}.$ Hence $\begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &=\frac{R_2T_2}{R_1T_1}\\ &=\frac{\sqrt{48}\sqrt{75}} {(\frac{4}{3})(\frac{9}{14})}\\ &=\frac{60}{\frac{6}{7}}=70. \end{aligned}$ Therefore $S_2=(\frac{3}{7})\cdot70=30.$

Thus, the correct answer is B.

14.

当项数无限增加时，设等比级数 $4-\dfrac83+\dfrac{16}{9}-\cdots$ 的极限和为 $s$ 。则 $s$ 等于：

Let $s$ be the limiting sum of the geometric series $4-\dfrac83+\dfrac{16}{9}-\cdots,$ as the number of terms increases without bound. Then $s$ equals:

$0$ 与 $1$ 之间的一个数

a number between $0$ and $1$

$2.4$

$2.5$

$3.6$

$12$

知识点：等比数列求和

难度评级：1110

小提示：

求第二项与第一项之比

Find the ratio of the second term to the first

大提示：

由于公比的绝对值小于 $1$ ，使用 $\frac{a}{1-r}$

Use $\frac{a}{1-r}$ because the ratio has absolute value less than $1$

解答：

首项为 $4$ ，公比为 $-\frac{2}{3}$ 。因此 $s=\frac4{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{12}{5}=2.4\text{。}$

所以正确答案是 B。

The first term is $4$ and the common ratio is $-\frac{2}{3}.$ Thus $s=\frac4{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{12}{5}=2.4.$

Therefore, the correct answer is B.

15.

已知三角形 $ABC$ 的底边 $AB$ 的长度与位置固定。当顶点 $C$ 沿一条直线移动时，三条中线的交点沿下列哪种轨迹移动：

Given triangle $ABC$ with base $AB$ fixed in length and position. As the vertex $C$ moves on a straight line, the intersection point of the three medians moves on:

圆

a circle

抛物线

a parabola

椭圆

an ellipse

直线

a straight line

以上未列出的一条曲线

a curve here not listed

知识点：重心变换向量

难度评级：1280

小提示：

重心位于从一个顶点到对边中点的中线上，距该顶点全长的三分之二处

The centroid lies two-thirds of the way from a vertex to the midpoint of the opposite side

大提示：

在 $AB$ 固定时，把重心表示为一个定点加上 $C$ 的位置向量的三分之一

With $AB$ fixed, express the centroid as a fixed point plus one-third of the position vector of $C$

解答：

也用 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 表示相应的位置向量。重心为 $G=\frac{A+B+C}{3}\text{。}$ 因为 $A$ 和 $B$ 固定，所以这是将 $C$ 的位置按 $\frac{1}{3}$ 缩放后再平移。因此直线轨迹仍映射成直线轨迹。

所以正确答案是 D。

Let $A,$ $B,$ and $C$ also denote their position vectors. The centroid is $G=\frac{A+B+C}{3}.$ Since $A$ and $B$ are fixed, this is a translation and scaling by $\frac{1}{3}$ of the position of $C.$ A straight-line locus therefore maps to a straight-line locus.

Thus, the correct answer is D.

16.

已知矩形 $R_1$ 的一边长为 $2$ 英寸，面积为 $12$ 平方英寸。对角线长为 $15$ 英寸的矩形 $R_2$ 与 $R_1$ 相似。以平方英寸为单位， $R_2$ 的面积为：

Given rectangle $R_1$ with one side $2$ inches and area $12$ square inches. Rectangle $R_2$ with diagonal $15$ inches is similar to $R_1.$ Expressed in square inches the area of $R_2$ is:

$\dfrac92$

$36$

$\dfrac{135}{2}$

$9\sqrt{10}$

$\dfrac{27\sqrt{10}}4$

知识点：相似矩形长度、面积与体积的缩放关系勾股定理

难度评级：1510

小提示：

$R_1$ 的两条边长为 $2$ 和 $6$

The sides of $R_1$ are $2$ and $6$

大提示：

面积之比等于对应对角线之比的平方

Areas scale as the square of the ratio of corresponding diagonals

解答：

$R_1$ 的对角线长为 $\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$ 。因此 $\frac{[R_2]}{[R_1]} =\left(\frac{15}{2\sqrt{10}}\right)^2 =\frac{45}{8}\text{。}$ 所以 $[R_2]=12(\frac{45}{8})=\frac{135}{2}$ 。

所以正确答案是 C。

The diagonal of $R_1$ is $\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}.$ Therefore $\frac{[R_2]}{[R_1]} =\left(\frac{15}{2\sqrt{10}}\right)^2 =\frac{45}{8}.$ Thus $[R_2]=12(\frac{45}{8})=\frac{135}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

若 $a=\log_8 225$ 且 $b=\log_2 15$ ，则用 $b$ 表示的 $a$ 为：

If $a=\log_8 225$ and $b=\log_2 15,$ then $a,$ in terms of $b,$ is:

$\dfrac b2$

$\dfrac{2b}{3}$

$b$

$\dfrac{3b}{2}$

$2b$

知识点：对数指数代数变形

难度评级：1180

小提示：

写出 $225=15^2$ 和 $8=2^3$

Write $225=15^2$ and $8=2^3$

大提示：

使用以 $2$ 为底的换底公式

Use the change-of-base formula with base $2$

解答：

换成以 $2$ 为底，得到 $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3} =\frac{2b}{3} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Changing to base $2$ gives $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3} =\frac{2b}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

18.

一个正十二边形（ $12$ 条边）内接于半径为 $r$ 英寸的圆。以平方英寸为单位，该十二边形的面积为：

A regular dodecagon ( $12$ sides) is inscribed in a circle with radius $r$ inches. The area of the dodecagon, in square inches, is:

$3r^2$

$2r^2$

$\dfrac{3r^2\sqrt3}{4}$

$r^2\sqrt3$

$3r^2\sqrt3$

知识点：正多边形三角形面积三角学

难度评级：1210

小提示：

将十二边形分成 $12$ 个以圆心为一个顶点的三角形

Divide the dodecagon into $12$ triangles with vertex at the center

大提示：

每个圆心角为 $30^\circ$ ，所以使用 $\frac12r^2\sin30^\circ$

Each central angle is $30^\circ$ , so use $\frac12r^2\sin30^\circ$

解答：

这 $12$ 个以圆心为顶点的三角形，每个面积为 $\frac12r^2\sin30^\circ=\frac{r^2}{4}\text{。}$ 因此总面积为 $12(\frac{r^2}{4})=3r^2$ 。

所以正确答案是 A。

Each of the $12$ central triangles has area $\frac12r^2\sin30^\circ=\frac{r^2}{4}.$ Their total area is $12(\frac{r^2}{4})=3r^2.$

Thus, the correct answer is A.

19.

若抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-1,12)$ 、 $(0,5)$ 和 $(2,-3)$ ，则 $a+b+c$ 的值为：

If the parabola $y=ax^2+bx+c$ passes through the points $(-1,12),$ $(0,5),$ and $(2,-3),$ the value of $a+b+c$ is:

$-4$

$-2$

$0$

$1$

$2$

知识点：方程组二次方程换元法

难度评级：1280

小提示：

所求的和就是抛物线在 $x=1$ 处的函数值

The requested sum is the value of the parabola at $x=1$

大提示：

利用给出的三个点解出 $a$ 、 $b$ 和 $c$

Use the three given points to solve for $a,$ $b,$ and $c$

解答：

由点 $(0,5)$ 得 $c=5$ 。另外两个点给出 $a-b=7,\qquad 4a+2b=-8\text{。}$ 解得 $a=1$ 、 $b=-6$ 。因此 $a+b+c=1-6+5=0$ 。

所以正确答案是 C。

The point $(0,5)$ gives $c=5.$ The other two points give $a-b=7,\qquad 4a+2b=-8.$ Solving yields $a=1$ and $b=-6.$ Hence $a+b+c=1-6+5=0.$

Thus, the correct answer is C.

20.

一个五边形的五个内角成等差数列。其中必有一个角的度数为：

The angles of a pentagon are in arithmetic progression. One of the angles, in degrees, must be:

$108$

$90$

$72$

$54$

$36$

知识点：角度和等差数列

难度评级：1440

小提示：

五个成等差数列的数，其中间项等于这五项的平均数

Five terms in arithmetic progression have their middle term equal to their average

大提示：

五边形的内角和为 $540^\circ$

The interior angles of a pentagon sum to $540^\circ$

解答：

五个角的平均数为 $\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$ 。对于五个成等差数列的数，中间项等于平均数，所以必有一个角为 $108^\circ$ 。

所以正确答案是 A。

The average of the five angles is $\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$ For five terms in arithmetic progression, the middle term equals the average, so one angle must be $108^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

21.

已知 $2x^2+rx+s=0$ 的一个根为 $3+2i$ ，其中 $r$ 和 $s$ 为实数，这里 $(i=\sqrt{-1})$ 。则 $s$ 的值为：

It is given that one root of $2x^2+rx+s=0,$ with $r$ and $s$ real numbers, is $3+2i$ $(i=\sqrt{-1}).$ The value of $s$ is:

无法确定

undetermined

$5$

$6$

$-13$

$26$

知识点：复数韦达定理

难度评级：1210

小提示：

实系数多项式还具有与该根共轭的根

A polynomial with real coefficients also has the conjugate root

大提示：

利用两根之积和韦达定理

Use the product of the roots and Vieta’s formula

解答：

另一个根为 $3-2i$ 。两根之积为 $(3+2i)(3-2i)=9+4=13\text{。}$ 由韦达定理得 $\frac{s}{2}=13$ ，所以 $s=26$ 。

所以正确答案是 E。

The other root is $3-2i.$ Their product is $(3+2i)(3-2i)=9+4=13.$ Vieta’s formula gives $\frac{s}{2}=13,$ so $s=26.$

Therefore, the correct answer is E.

22.

用整数进制 $b$ 表示的数 $121_b$ 在下列何种情况下是某个整数的平方：

The number $121_b,$ written in the integral base $b,$ is the square of an integer, for:

仅当 $b=10$

$b=10,$ only

仅当 $b=10$ 或 $b=5$

$b=10$ and $b=5,$ only

$2\le b\le10$

$b\gt2$

不存在 $b$ 的取值

no value of $b$

知识点：进制位值完全平方数

难度评级：1440

小提示：

把 $121_b$ 转化为关于 $b$ 的表达式

Convert $121_b$ to an expression in $b$

大提示：

注意数字 $2$ 要求 $b\gt2$

Remember that the digit $2$ requires $b\gt2$

解答：

用通常的记数法， $121_b=b^2+2b+1=(b+1)^2\text{。}$ 对每个允许的进制，这都是一个平方数。由于出现了数字 $2$ ，恰好只有满足 $b\gt2$ 的整数进制才可用。

所以正确答案是 D。

In ordinary notation, $121_b=b^2+2b+1=(b+1)^2.$ This is a square for every allowable base. Since digit $2$ occurs, precisely the integral bases $b\gt2$ are allowable.

Thus, the correct answer is D.

23.

在三角形 $ABC$ 中， $CD$ 是 $AB$ 边上的高， $AE$ 是 $BC$ 边上的高。若 $AB$ 、 $CD$ 和 $AE$ 的长度已知，则 $DB$ 的长度：

In triangle $ABC,$ $CD$ is the altitude to $AB$ and $AE$ is the altitude to $BC.$ If the lengths of $AB,$ $CD,$ and $AE$ are known, the length of $DB$ is:

无法由所给信息确定

not determined by the information given

仅当 $A$ 为锐角时才能确定

determined only if $A$ is an acute angle

仅当 $B$ 为锐角时才能确定

determined only if $B$ is an acute angle

仅当 $ABC$ 为锐角三角形时才能确定

determined only if $ABC$ is an acute triangle

以上说法均不正确

none of these is correct

知识点：三角形面积高线勾股定理

难度评级：1570

小提示：

利用两条已知的高，以两种方式计算三角形的面积

Compute the triangle’s area in two ways using the two known altitudes

大提示：

求出 $BC$ 后，利用直角三角形 $BCD$

After finding $BC,$ use right triangle $BCD$

解答：

设 $AB=c$ 、 $CD=h$ ，且 $AE=e$ 。令两个面积公式相等，得到 $\frac12ch=\frac12(BC)e\text{，}$ 所以 $BC=\frac{ch}{e}$ 。由于三角形 $BCD$ 在 $D$ 处为直角， $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}\text{。}$ 无论原三角形是锐角、直角还是钝角三角形，这都能确定 $DB$ ，所以前四个选项均不正确。

所以正确答案是 E。

Let $AB=c,$ $CD=h,$ and $AE=e.$ Equating two area formulas gives $\frac12ch=\frac12(BC)e,$ so $BC=\frac{ch}{e}.$ Since triangle $BCD$ is right at $D,$ $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.$ This determines $DB$ whether the original triangle is acute, right, or obtuse, so none of the first four choices is correct.

Thus, the correct answer is E.

24.

三台机器 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 合作可在 $x$ 小时内完成一项工作。若单独工作， $P$ 完成该工作还需多用 $6$ 小时， $Q$ 还需多用一小时，而 $R$ 还需多用 $x$ 小时。 $x$ 的值为：

Three machines $P,$ $Q,$ and $R,$ working together, can do a job in $x$ hours. When working alone, $P$ needs an additional $6$ hours to do the job; $Q,$ one additional hour; and $R,$ $x$ additional hours. The value of $x$ is:

$\dfrac23$

$\dfrac{11}{12}$

$\dfrac32$

$2$

$3$

知识点：速率分式方程

难度评级：1710

小提示：

三台机器各自完成工作的时间分别为 $x+6$ 、 $x+1$ 和 $2x$

The individual completion times are $x+6,$ $x+1,$ and $2x$

大提示：

令各机器每小时工作量之和等于 $\frac{1}{x}$

Set the sum of the individual hourly rates equal to $\frac{1}{x}$

解答：

工作速度满足 $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}+\frac1{2x}=\frac1x\text{。}$ 因此 $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}=\frac1{2x}\text{，}$ 化简得 $3x^2+7x-6=0$ ，即 $(3x-2)(x+3)=0$ 。时间必须为正，所以 $x=\frac{2}{3}$ 。

所以正确答案是 A。

The rates satisfy $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}+\frac1{2x}=\frac1x.$ Thus $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}=\frac1{2x},$ which simplifies to $3x^2+7x-6=0,$ or $(3x-2)(x+3)=0.$ A time must be positive, so $x=\frac{2}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

25.

已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$ 英尺。作一个经过顶点 $A$ 和 $D$ 且与边 $BC$ 相切的圆。以英尺为单位，该圆的半径为：

Given square $ABCD$ with side $8$ feet. A circle is drawn through vertices $A$ and $D$ and tangent to side $BC.$ The radius of the circle, in feet, is:

$4$

$4\sqrt2$

$5$

$5\sqrt2$

$6$

知识点：切线垂直平分线坐标几何圆

难度评级：1570

小提示：

令 $A=(0,0)$ 、 $D=(0,8)$ ，并使 $BC$ 位于直线 $x=8$ 上

Place $A=(0,0),$ $D=(0,8),$ and $BC$ on the line $x=8$

大提示：

圆心位于 $AD$ 的垂直平分线上，且圆心到 $BC$ 的距离等于半径

The center lies on the perpendicular bisector of $AD$ , and its distance to $BC$ equals the radius

解答：

设圆心为 $(h,4)$ 。由于圆经过 $A$ ， $r^2=h^2+16\text{。}$ 与 $x=8$ 相切给出 $r=8-h$ 。因此 $h^2+16=(8-h)^2$ ，所以 $h=3$ ，且 $r=5$ 。

所以正确答案是 C。

Place the center at $(h,4).$ Since the circle passes through $A,$ $r^2=h^2+16.$ Tangency to $x=8$ gives $r=8-h.$ Therefore $h^2+16=(8-h)^2,$ so $h=3$ and $r=5.$

Thus, the correct answer is C.

26.

当 $x$ 取任意实数时， $8x-3x^2$ 的最大值为：

For any real value of $x$ the maximum value of $8x-3x^2$ is:

$0$

$\dfrac83$

$4$

$5$

$\dfrac{16}{3}$

知识点：二次方程配方法最优化

难度评级：1180

小提示：

对 $8x-3x^2$ 配方

Complete the square in $8x-3x^2$

大提示：

负的平方项在等于 $0$ 时最大

A negative square is largest when it equals $0$

解答：

配方得 $8x-3x^2 =\frac{16}{3}-3\left(x-\frac43\right)^2\text{。}$ 平方项非负，所以最大值为 $\frac{16}{3}$ 。

所以正确答案是 E。

Completing the square, $8x-3x^2 =\frac{16}{3}-3\left(x-\frac43\right)^2.$ The square term is nonnegative, so the maximum is $\frac{16}{3}.$

Thus, the correct answer is E.

27.

令 $a\mathbin{@}b$ 表示对两个数 $a$ 和 $b$ 取较大者的运算，并规定 $a\mathbin{@}a=a$ 。令 $a\mathbin{!}b$ 表示取两数中较小者的运算，并规定 $a\mathbin{!}a=a$ 。以下三条法则中哪些正确？ $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c) \end{aligned}\text{。}$

Let $a\mathbin{@}b$ represent the operation on two numbers, $a$ and $b,$ which selects the larger of the two numbers, with $a\mathbin{@}a=a.$ Let $a\mathbin{!}b$ represent the operation which selects the smaller of the two numbers, with $a\mathbin{!}a=a.$ Which of the following three rules is (are) correct? $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}$

仅 $(1)$

$(1)$ only

仅 $(2)$

$(2)$ only

仅 $(1)$ 和 $(2)$

$(1)$ and $(2)$ only

仅 $(1)$ 和 $(3)$

$(1)$ and $(3)$ only

三条都正确

all three

知识点：自定义运算分配律分类讨论

难度评级：1500

小提示：

把 $\mathbin{@}$ 理解为取最大值，把 $\mathbin{!}$ 理解为取最小值

Translate $\mathbin{@}$ as maximum and $\mathbin{!}$ as minimum

大提示：

对法则 $(3)$ ，分别在 $a$ 小于或大于 $\max(b,c)$ 时比较两边

For rule $(3),$ compare both sides separately when $a$ is below or above $\max(b,c)$

解答：

取最大值满足交换律和结合律，所以 $(1)$ 与 $(2)$ 成立。法则 $(3)$ 是分配恒等式 $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)) \end{aligned}\text{。}$ 若 $a\ge\max(b,c)$ ，两边都等于 $\max(b,c)$ ；若 $a\lt\max(b,c)$ ，两边都等于 $a$ 。因此 $(3)$ 也成立。

所以正确答案是 E。

Maximum is commutative and associative, so $(1)$ and $(2)$ hold. Rule $(3)$ is the distributive identity $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}$ If $a\ge\max(b,c),$ both sides equal $\max(b,c);$ if $a\lt\max(b,c),$ both sides equal $a.$ Thus $(3)$ also holds.

Therefore, the correct answer is E.

28.

满足方程 $x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}$ 的 $x$ 值集合为：

The set of $x$ -values satisfying the equation $x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}$ consists of:

仅 $\dfrac1{10}$

$\dfrac1{10},$ only

仅 $10$

$10,$ only

仅 $100$

$100,$ only

仅 $10$ 或 $100$

$10$ or $100,$ only

多于两个实数

more than two real numbers

知识点：对数指数换元法二次方程

难度评级：1520

小提示：

对数要求 $x\gt0$ ；令 $y=\log_{10}x$

The logarithm requires $x\gt0$ ; set $y=\log_{10}x$

大提示：

两边取以 $10$ 为底的对数，得到关于 $y$ 的二次方程

Take base- $10$ logarithms to obtain a quadratic in $y$

解答：

令 $y=\log_{10}x$ ，则 $x=10^y$ 。两边取以 $10$ 为底的对数，得到 $y^2=3y-2\text{。}$ 因此 $(y-1)(y-2)=0$ ，所以 $x=10$ 或 $x=100$ 。

所以正确答案是 D。

Set $y=\log_{10}x,$ so $x=10^y.$ Taking base- $10$ logarithms gives $y^2=3y-2.$ Hence $(y-1)(y-2)=0,$ so $x=10$ or $x=100.$

Thus, the correct answer is D.

29.

下列哪组 $x$ 值满足不等式 $2x^2+x\lt6$ ？

Which of the following sets of $x$ -values satisfy the inequality $2x^2+x\lt6?$

$-2\lt x\lt\dfrac32$

$x\gt\dfrac32$ 或 $x\lt-2$

$x\gt\dfrac32$ or $x\lt-2$

$x\lt\dfrac32$

$\dfrac32\lt x\lt2$

$x\lt-2$

知识点：不等式因式分解零积性质

难度评级：1150

小提示：

将所有项移到一边，并分解二次式

Move all terms to one side and factor the quadratic

大提示：

两个一次因式的乘积在两根之间为负

A product of two linear factors is negative between its roots

解答：

该不等式为 $2x^2+x-6\lt0$ 。分解得 $(2x-3)(x+2)\lt0$ 。乘积在两根之间为负，所以 $-2\lt x\lt\frac{3}{2}$ 。

所以正确答案是 A。

The inequality is $2x^2+x-6\lt0.$ Factoring gives $(2x-3)(x+2)\lt0.$ The product is negative between its roots, so $-2\lt x\lt\frac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

30.

考虑以下陈述：

$(1)$ $p$ 和 $q$ 都为真
$(2)$ $p$ 为真且 $q$ 为假
$(3)$ $p$ 为假且 $q$ 为真
$(4)$ $p$ 和 $q$ 都为假。

其中有多少个陈述蕴含“ $p$ 和 $q$ 都为真”这一命题的否定？

Consider the statements:

$(1)$ $p$ and $q$ are both true
$(2)$ $p$ is true and $q$ is false
$(3)$ $p$ is false and $q$ is true
$(4)$ $p$ is false and $q$ is false.

How many of these imply the negation of the statement “ $p$ and $q$ are both true”?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：逻辑推理

难度评级：1280

小提示：

只有两个命题都为真时，该否定才不成立

The negation fails only when both statements are true

大提示：

检查列出的四种真假赋值中哪些不是情形 $(1)$

Check which of the four listed truth assignments are not case $(1)$

解答：

只要 $p$ 和 $q$ 中至少一个为假，“ $p$ 和 $q$ 都为真”的否定就成立。这发生在情形 $(2)$ 、 $(3)$ 和 $(4)$ 中，共有 $3$ 种。

所以正确答案是 D。

The negation of “ $p$ and $q$ are both true” holds whenever at least one of $p$ and $q$ is false. This occurs in cases $(2),$ $(3),$ and $(4),$ for a total of $3.$

Thus, the correct answer is D.

31.

两个边长均为单位长度的正多边形的内角之比为 $3:2$ 。这样的多边形对有多少组？

The ratio of the interior angles of two regular polygons with sides of unit length is $3:2.$ How many such pairs are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

无穷多组

infinitely many

知识点：正多边形角度和丢番图方程

难度评级：1710

小提示：

对于正 $n$ 边形，一个内角为 $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

For an $n$ -gon, an interior angle is $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

大提示：

若较小的多边形有 $n$ 条边，求出较大多边形的边数，并检验满足 $3\le n\lt6$ 的整数

If the smaller polygon has $n$ sides, solve for the larger side count and test the possible integers $3\le n\lt6$

解答：

设较小和较大的多边形分别有 $n$ 和 $N$ 条边。则 $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32\text{，}$ 解得 $N=\frac{4n}{6-n}$ 。由正数条件及 $N\gt n$ ，可得 $n=3$ 、 $n=4$ 或 $n=5$ 。它们分别给出 $N=4$ 、 $N=8$ 和 $N=20$ 。因此共有 $3$ 组。

所以正确答案是 C。

Let the smaller and larger polygons have $n$ and $N$ sides. Then $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,$ which gives $N=\frac{4n}{6-n}.$ Positivity and $N\gt n$ require $n=3,$ $n=4,$ or $n=5.$ These give $N=4,$ $N=8,$ and $N=20,$ respectively. Thus there are $3$ pairs.

Therefore, the correct answer is C.

32.

若对 $k=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $n-1$ ，有 $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ ，且 $x_1=1$ ，求 $x_1+x_2+\cdots+x_n$ 。

If $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n-1$ and $x_1=1,$ find $x_1+x_2+\cdots+x_n.$

$\dfrac{n+1}{2}$

$\dfrac{n+3}{2}$

$\dfrac{n^2-1}{2}$

$\dfrac{n^2+n}{4}$

$\dfrac{n^2+3n}{4}$

知识点：等差数列求和

难度评级：1440

小提示：

该递推关系定义了公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列

The recurrence defines an arithmetic sequence with common difference $\frac{1}{2}$

大提示：

先求 $x_n$ ，再使用 $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

Find $x_n$ , then use $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

解答：

有 $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

We have $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

33.

满足不等式 $2\le|x-1|\le5$ 的 $x$ 值集合为：

The set of $x$ -values satisfying the inequality $2\le|x-1|\le5$ is:

$-4\le x\le-1$ 或 $3\le x\le6$

$-4\le x\le-1$ or $3\le x\le6$

$3\le x\le6$ 或 $-6\le x\le-3$

$3\le x\le6$ or $-6\le x\le-3$

$x\le-1$ 或 $x\ge3$

$x\le-1$ or $x\ge3$

$-1\le x\le3$

$-4\le x\le6$

知识点：绝对值不等式

难度评级：1180

小提示：

将该不等式理解为到 $1$ 的距离介于 $2$ 与 $5$ 之间

Interpret the inequality as distances from $1$ between $2$ and $5$

大提示：

分别解 $2\le x-1\le5$ 和 $-5\le x-1\le-2$

Solve $2\le x-1\le5$ and $-5\le x-1\le-2$

解答：

当 $x-1\ge0$ 时，界限给出 $3\le x\le6$ 。当 $x-1\le0$ 时，给出 $-4\le x\le-1$ 。解集是这两个区间的并集。

所以正确答案是 A。

For $x-1\ge0,$ the bounds give $3\le x\le6.$ For $x-1\le0,$ they give $-4\le x\le-1.$ The solution is the union of these two intervals.

Thus, the correct answer is A.

34.

当实数 $K$ 取哪些值时，方程 $x=K^2(x-1)(x-2)$ 有实根？

For what real values of $K$ does $x=K^2(x-1)(x-2)$ have real roots?

没有任何值

none

$-2\lt K\lt1$

$-2\sqrt2\lt K\lt2\sqrt2$

$K\gt1$ 或 $K\lt-2$

$K\gt1$ or $K\lt-2$

所有实数

all

知识点：二次方程代数变形

难度评级：1550

小提示：

展开并合并同类项，得到关于 $x$ 的二次方程

Expand and collect terms to obtain a quadratic in $x$

大提示：

其判别式化简为 $K^4+6K^2+1$

Its discriminant simplifies to $K^4+6K^2+1$

解答：

整理得 $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0\text{。}$ 对每个实数 $K$ ，其判别式均满足 $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}\text{。}$ 这也包括 $K=0$ 的情形，此时原方程给出 $x=0$ 。

所以正确答案是 E。

Rearranging gives $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.$ Its discriminant is $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}$ for every real $K.$ This also covers $K=0,$ when the original equation gives $x=0.$

Therefore, the correct answer is E.

35.

某人在下午 $6{:}00$ 刚过不久外出赴宴时，看到手表的时针与分针成 $110^\circ$ 角。他在下午 $7{:}00$ 前返回时，发现两根指针再次成 $110^\circ$ 角。他离开的分钟数为：

A man on his way to dinner shortly after $6{:}00$ p.m. observes that the hands of his watch form an angle of $110^\circ.$ Returning before $7{:}00$ p.m. he notices that again the hands of his watch form an angle of $110^\circ.$ The number of minutes that he has been away is:

$36\dfrac23$

$40$

$42$

$42.4$

$45$

知识点：时钟相对速度

难度评级：1570

小提示：

在这段时间内，分针每分钟比时针多转 $5.5^\circ$

During the interval, the minute hand gains on the hour hand at $5.5^\circ$ per minute

大提示：

两次观察之间，带符号的角度差从 $110^\circ$ 变为 $-110^\circ$

Between the two observations, the signed separation changes from $110^\circ$ to $-110^\circ$

解答：

两次观察分别位于两针重合时刻的前后两侧。带符号的角度差变化了 $220^\circ$ 。由于分针每分钟比时针多转 $6-0.5=5.5^\circ$ ，所以经过的时间为 $\frac{220}{5.5}=40$ 分钟。

所以正确答案是 B。

The two observations lie on opposite sides of the instant when the hands coincide. Their signed angular separation changes by $220^\circ.$ Since the minute hand gains on the hour hand at $6-0.5=5.5^\circ$ per minute, the elapsed time is $\frac{220}{5.5}=40$ minutes.

Thus, the correct answer is B.

36.

若 $x$ 和 $y$ 都是整数，则方程 $(x-8)(x-10)=2^y$ 有多少组解？

If both $x$ and $y$ are integers, how many solutions are there to the equation $(x-8)(x-10)=2^y?$

$0$

$1$

$2$

$3$

多于 $3$ 组

more than $3$

知识点：丢番图方程 2的幂平方差

难度评级：1900

小提示：

将左边改写为 $(x-9)^2-1$

Rewrite the left side as $(x-9)^2-1$

大提示：

若 $n=x-9$ ，则相邻的两个偶数因式 $n-1$ 和 $n+1$ 都必须是 $2$ 的幂

If $n=x-9,$ then the consecutive even factors $n-1$ and $n+1$ must both be powers of $2$

解答：

令 $n=x-9$ 。则 $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1)\text{。}$ 由于乘积是 $2$ 的幂，两个因式都不能含有奇素因子。相差 $2$ 且均为带符号的 $2$ 的幂的相邻偶数，只有 $(-4,-2)$ 和 $(2,4)$ 。因此 $n=\pm3$ 且 $y=3$ ，给出 $x=6$ 或 $12$ 。共有 $2$ 个有序数对 $(x,y)$ 。

所以正确答案是 C。

Put $n=x-9.$ Then $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).$ Since the product is a power of $2,$ both factors must have no odd prime divisor. The only consecutive even integers differing by $2$ that are both signed powers of $2$ are $(-4,-2)$ and $(2,4).$ Thus $n=\pm3$ and $y=3,$ giving $x=6$ or $12.$ There are $2$ ordered pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is C.

37.

$ABCD$ 是边长为单位长度的正方形。分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上取点 $E$ 和 $F$ ，使得 $AE=AF$ ，且四边形 $CDFE$ 的面积最大。以平方单位计，此最大面积为：

$ABCD$ is a square with side of unit length. Points $E$ and $F$ are taken respectively on sides $AB$ and $AD$ so that $AE=AF$ and the quadrilateral $CDFE$ has maximum area. In square units this maximum area is:

$\dfrac12$

$\dfrac9{16}$

$\dfrac{19}{32}$

$\dfrac58$

$\dfrac23$

知识点：面积鞋带公式配方法最优化

难度评级：1730

小提示：

令 $AE=AF=t$ ，并使用坐标法或鞋带公式

Let $AE=AF=t$ and use coordinates or the shoelace formula

大提示：

面积化为 $\frac12(1+t-t^2)$ ；再进行配方

The area becomes $\frac12(1+t-t^2)$ ; complete the square

解答：

令 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $C=(1,1)$ 且 $D=(0,1)$ 。则 $E=(t,0)$ ，且 $F=(0,t)$ 。由鞋带公式得 $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2 \end{aligned}\text{。}$ 其最大值为 $\frac{5}{8}$ 。

所以正确答案是 D。

Set $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(1,1),$ and $D=(0,1).$ Then $E=(t,0)$ and $F=(0,t).$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ Its maximum is $\frac{5}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

38.

诺萨奇镇的人口曾经是一个完全平方数。后来人口增加 $100$ 后，比某个完全平方数多一。现在人口又增加 $100$ ，再次成为完全平方数。

原来的人口是下列哪个数的倍数：

The population of Nosuch Junction at one time was a perfect square. Later, with an increase of $100,$ the population was one more than a perfect square. Now, with an additional increase of $100,$ the population is again a perfect square.

The original population is a multiple of:

$3$

$7$

$9$

$11$

$17$

知识点：平方差完全平方数因数系统列举

难度评级：1980

小提示：

将三个人口数分别写成 $a^2$ 、 $b^2+1$ 和 $c^2$

Write the populations as $a^2,$ $b^2+1,$ and $c^2$

大提示：

从 $b^2-a^2=99$ 出发，检验 $99$ 的正因数对，再加入条件 $c^2-a^2=200$

From $b^2-a^2=99,$ test the positive factor pairs of $99$ , then impose $c^2-a^2=200$

解答：

设原来的人口为 $a^2$ 。则 $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200\text{。} \end{aligned}$ 由 $(b-a)(b+a)=99$ ， $a$ 的正数可能值为 $49$ 、 $15$ 和 $1$ 。检验第二个条件，只有 $a=49$ 可行，因为 $49^2+200=2601=51^2\text{。}$ 人口为 $49^2=7^4$ ，是 $7$ 的倍数。

所以正确答案是 B。

Let the original population be $a^2.$ Then $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}$ From $(b-a)(b+a)=99,$ the positive possibilities for $a$ are $49,$ $15,$ and $1.$ Checking the second condition, only $a=49$ works, since $49^2+200=2601=51^2.$ The population is $49^2=7^4,$ a multiple of $7.$

Thus, the correct answer is B.

39.

一个各边不等的三角形，其两条中线 $AN$ 和 $BP$ 的长度分别为 $3$ 英寸和 $6$ 英寸。其面积为 $3\sqrt{15}$ 平方英寸。以英寸为单位，第三条中线的长度为：

The medians $AN$ and $BP$ of a triangle with unequal sides are, respectively, $3$ inches and $6$ inches long. Its area is $3\sqrt{15}$ square inches. The length of the third median, in inches, is:

$4$

$3\sqrt3$

$3\sqrt6$

$6\sqrt3$

$6\sqrt6$

知识点：中线（几何）余弦定理面积

难度评级：2090

小提示：

三条中线可组成一个三角形的三边，该三角形面积是原三角形面积的四分之三

The three medians form the side lengths of a triangle whose area is three-fourths the original area

大提示：

利用两条已知中线和该面积求出两种可能的夹角，再排除使两条中线相等的情形

Use the two known median lengths and that area to find the two possible included angles, then reject the case that makes two medians equal

解答：

以三条中线为边所组成的三角形，其面积为 $\frac34\left(3\sqrt{15}\right)=\frac{9\sqrt{15}}4\text{。}$ 若 $\theta$ 是边长 $3$ 与 $6$ 的夹角，则 $9\sin\theta=\frac{9\sqrt{15}}4\text{，}$ 所以 $\cos\theta=\pm\frac{1}{4}$ 。由余弦定理，第三条中线 $m$ 满足 $m^2=3^2+6^2-2(3)(6)\cos\theta\text{，}$ 得到 $m^2=36$ 或 $54$ 。若 $m=6$ ，则两条中线相等，从而两条边也相等。由于原三角形各边不等，故 $m=\sqrt{54}=3\sqrt6$ 。

所以正确答案是 C。

The triangle whose sides are the three medians has area $\frac34\left(3\sqrt{15}\right)=\frac{9\sqrt{15}}4.$ If $\theta$ is the included angle between its sides $3$ and $6,$ then $9\sin\theta=\frac{9\sqrt{15}}4,$ so $\cos\theta=\pm\frac{1}{4}.$ By the law of cosines, the third median $m$ satisfies $m^2=3^2+6^2-2(3)(6)\cos\theta,$ giving $m^2=36$ or $54.$ The value $m=6$ would make two medians, and hence two sides, equal. Because the triangle has unequal sides, $m=\sqrt{54}=3\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is C.

40.

无穷级数 $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots$ 的第 $n$ 项为 $\frac{n}{10^n}$ ，其极限和为：

The limiting sum of the infinite series $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,$ whose $n$ th term is $\frac{n}{10^n},$ is:

$\dfrac19$

$\dfrac{10}{81}$

$\dfrac18$

$\dfrac{17}{72}$

大于任何有限量

larger than any finite quantity

知识点：差比数列微积分求和

难度评级：1570

小提示：

从 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ 开始

Start from $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

大提示：

先求导，再乘以 $x$

Differentiate and then multiply by $x$

解答：

当 $|x|\lt1$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}\text{。}$ 取 $x=\frac{1}{10}$ ，得到 $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}\text{。}$

所以正确答案是 B。

For $|x|\lt1,$ $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.$ Taking $x=\frac{1}{10}$ gives $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.$

Thus, the correct answer is B.