Question

在 $xy$ 平面内，设 $OABC$ 为单位正方形，其中 $O(0,0)$ 、 $A(1,0)$ 、 $B(1,1)$ 、 $C(0,1)$ 。由 $u=x^2-y^2$ 与 $v=2xy$ 定义从 $xy$ 平面到 $uv$ 平面的变换。该正方形的变换图像为：

Let $OABC$ be a unit square in the $xy$ -plane with $O(0,0),$ $A(1,0),$ $B(1,1),$ and $C(0,1).$ Let $u=x^2-y^2$ and $v=2xy$ define a transformation of the $xy$ -plane into the $uv$ -plane. The transform (or image) of the square is:

答案：D

知识点：坐标几何抛物线变换

难度评级：2120

小提示：

先求四个顶点的像，再分别变换每条边

Map the four vertices and then transform each side separately

大提示：

水平边与竖直边变成两条线段和两段抛物线弧

The horizontal sides and vertical sides become two line segments and two parabolic arcs

解答：

各顶点的像为 $\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0) \end{aligned}\text{。}$ 边 $OA$ 映为从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$ 的线段， $CO$ 映为从 $(-1,0)$ 到 $(0,0)$ 的线段。在 $AB$ 上， $x=1$ ，所以 $u=1-\frac{v^2}{4}$ ；在 $BC$ 上， $y=1$ ，所以 $u=\frac{v^2}{4}-1$ 。它们是连接 $(\pm1,0)$ 与 $(0,2)$ 的两段上方抛物线弧。

所以正确答案是 D。

The vertices map as $\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}$ Side $OA$ maps to the segment from $(0,0)$ to $(1,0),$ and $CO$ maps to the segment from $(-1,0)$ to $(0,0).$ On $AB,$ $x=1,$ so $u=1-\frac{v^2}{4};$ on $BC,$ $y=1,$ so $u=\frac{v^2}{4}-1.$ These are the two upper parabolic arcs joining $(\pm1,0)$ to $(0,2).$

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 第 31 题

答案：D

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题