Question

设 $P$ 是等腰直角三角形 $ABC$ 的斜边 $AB$ （或其延长线）上的一点。令 $s=AP^2+PB^2$ 。则：

Let $P$ be a point of hypotenuse $AB$ (or its extension) of isosceles right triangle $ABC.$ Let $s=AP^2+PB^2.$ Then:

仅有有限个 $P$ 的位置满足 $s\lt2CP^2$

$s\lt2CP^2$ for a finite number of positions of $P$

有无穷多个 $P$ 的位置满足 $s\lt2CP^2$

$s\lt2CP^2$ for an infinite number of positions of $P$

仅当 $P$ 是 $AB$ 的中点或 $AB$ 的端点时， $s=2CP^2$

$s=2CP^2$ only if $P$ is the midpoint of $AB$ or an endpoint of $AB$

恒有 $s=2CP^2$

$s=2CP^2$ always

若 $P$ 是 $AB$ 的三等分点，则 $s\gt2CP^2$

$s\gt2CP^2$ if $P$ is a trisection point of $AB$

答案：D

知识点：坐标几何距离公式等腰三角形

难度评级：1670

小提示：

将 $AB$ 的中点置于原点，并让 $AB$ 位于 $x$ 轴上

Put the midpoint of $AB$ at the origin and $AB$ on the $x$ -axis

大提示：

取 $A=(-a,0)$ 、 $B=(a,0)$ 、 $C=(0,a)$ 、 $P=(p,0)$

Use $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a),$ and $P=(p,0)$

解答：

取 $A=(-a,0)$ 、 $B=(a,0)$ 、 $C=(0,a)$ 、 $P=(p,0)$ 。这涵盖了斜边所在直线上的每一点。于是 $\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2 \end{aligned}\text{。}$ 因而对 $P$ 的每个位置都有 $s=2CP^2$ 。

所以正确答案是 D。

Take $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a),$ and $P=(p,0).$ This describes every point on the hypotenuse line. Then $\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}$ Thus $s=2CP^2$ for every position of $P.$

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题