Question

设

$F=\log\frac{1+x}{1-x}\text{。}$

求新函数 $G$ ：把 $x$ 在 $F$ 中的每一次出现都替换为

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2}\text{，}$

并化简。化简后的 $G$ 等于：

Let

$F=\log\frac{1+x}{1-x}.$

Form a new function $G$ by replacing each $x$ in $F$ by

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$

and simplify. The simplified expression $G$ is equal to:

$-F$

$F$

$3F$

$F^3$

$F^3-F$

答案：C

知识点：对数因式分解代数变形

难度评级：2020

小提示：

把代入的分式记为 $u$ ，并化简 $\frac{1+u}{1-u}$

Call the substituted fraction $u$ and simplify $\frac{1+u}{1-u}$

大提示：

它的分子和分母都可分解为立方

Its numerator and denominator factor as cubes

解答：

令 $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}$ ，则 $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3$ ，所以 $G=3F$ 。

所以正确答案是 C。

For $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$ $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Therefore $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,$ so $G=3F.$

Thus, the correct answer is C.

1963 AMC 12 第 30 题

答案：C

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题