Question

掷 $n$ 个标准 $6$ 面骰子时，点数和为 $1994$ 的概率大于零，并且与点数和为 $S$ 的概率相同。 $S$ 的最小可能值是

When $n$ standard $6$ -sided dice are rolled, the probability of obtaining a sum of $1994$ is greater than zero and is the same as the probability of obtaining a sum of $S.$ The smallest possible value of $S$ is

$333$

$335$

$337$

$339$

$341$

答案：C

知识点：dice sums 对称性 extremal values

难度评级：2150

小提示：

点数和 $1994$ 只有当 $6n\ge1994$ 时才可能出现

A sum of $1994$ is possible only when $6n\ge1994$

大提示：

把每个骰子的点数 $d$ 替换为 $7-d$ ，就会把点数和 $T$ 与 $7n-T$ 配对

Replacing every die value $d$ by $7-d$ pairs sums $T$ and $7n-T$

解答：

可行的最少骰子数为 $n=\left\lceil\frac{1994}{6}\right\rceil=333\text{。}$ 把每个骰子的结果 $d$ 替换为 $7-d$ ，就会在点数和为 $T$ 与点数和为 $7n-T$ 的结果之间建立一一对应。因此当 $n=333$ 时，与 $1994$ 配对的点数和为 $S=7(333)-1994=337\text{。}$ 从最小点数和到平均值，骰子点数和的出现次数严格递增，所以对任意可行的 $n$ ，都不会有小于 $337$ 的点数和与 $1994$ 的出现次数相同。因此最小值为 $337$ ，正确答案是 C。

The smallest feasible number of dice is $n=\left\lceil\frac{1994}{6}\right\rceil=333.$ Replacing every die result $d$ by $7-d$ is a bijection between outcomes of sum $T$ and outcomes of sum $7n-T.$ Thus for $n=333,$ the sum paired with $1994$ is $S=7(333)-1994=337.$ Dice-sum counts increase strictly from the minimum sum up to the mean, so for any feasible $n$ no sum below $337$ can match the count at $1994.$ Thus the smallest value is $337,$ and the correct answer is C.

1994 AMC 12 第 30 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题