Question

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是方程 $x^4-bx-3=0$ 的解，则一个以 $\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}$ 为全部解的方程是

If $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are the solutions of the equation $x^4-bx-3=0,$ then an equation whose solutions are $\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}$ is

$3x^4+bx+1=0$

$3x^4-bx+1=0$

$3x^4+bx^3-1=0$

$3x^4-bx^3-1=0$

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：多项式韦达定理换元法

难度评级：2170

小提示：

利用缺少三次项这一点求 $a+b+c+d$

Use the missing cubic term to find $a+b+c+d$

大提示：

所列的每个表达式都会变成一个原方程根的负倒数

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

解答：

韦达定理给出 $a+b+c+d=0$ 。例如， $\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d\text{，}$ 类似地，新方程的根为 $-\frac{1}{a}$ 、 $-\frac{1}{b}$ 、 $-\frac{1}{c}$ 、 $-\frac{1}{d}$ 。令 $x=-\frac{1}{r}$ ，并代入 $r^4-br-3=0$ 。两边乘以 $x^4$ ，得到 $1+bx^3-3x^4=0$ ，即 $3x^4-bx^3-1=0\text{。}$

所以正确答案是 D。

Vieta’s formulas give $a+b+c+d=0.$ Thus, for example, $\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,$ and similarly the new roots are $-\frac{1}{a},$ $-\frac{1}{b},$ $-\frac{1}{c},$ $-\frac{1}{d}.$ Put $x=-\frac{1}{r}$ in $r^4-br-3=0.$ Multiplying by $x^4$ gives $1+bx^3-3x^4=0,$ or $3x^4-bx^3-1=0.$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题