Question

Si $a,$ $b,$ $c,$ $d$ son las soluciones de la ecuación $x^4-bx-3=0,$ entonces una ecuación cuyas soluciones son $\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}$ es

If $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are the solutions of the equation $x^4-bx-3=0,$ then an equation whose solutions are $\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}$ is

$3x^4+bx+1=0$

$3x^4-bx+1=0$

$3x^4+bx^3-1=0$

$3x^4-bx^3-1=0$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sustitución

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Usa la ausencia del término cúbico para hallar $a+b+c+d$

Use the missing cubic term to find $a+b+c+d$

Pista grande:

Cada expresión de la lista se convierte en el recíproco negativo de una raíz original

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $a+b+c+d=0.$ Así, por ejemplo, $\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,$ y de manera análoga las raíces nuevas son $-\frac{1}{a},$ $-\frac{1}{b},$ $-\frac{1}{c},$ $-\frac{1}{d}.$ Sustituye $x=-\frac{1}{r}$ en $r^4-br-3=0.$ Al multiplicar por $x^4$ , obtenemos $1+bx^3-3x^4=0,$ o bien $3x^4-bx^3-1=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Vieta’s formulas give $a+b+c+d=0.$ Thus, for example, $\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,$ and similarly the new roots are $-\frac{1}{a},$ $-\frac{1}{b},$ $-\frac{1}{c},$ $-\frac{1}{d}.$ Put $x=-\frac{1}{r}$ in $r^4-br-3=0.$ Multiplying by $x^4$ gives $1+bx^3-3x^4=0,$ or $3x^4-bx^3-1=0.$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años