Question

Sea $P$ un punto de la hipotenusa $AB$ (o de su prolongación) del triángulo rectángulo isósceles $ABC.$ Sea $s=AP^2+PB^2.$ Entonces:

Let $P$ be a point of hypotenuse $AB$ (or its extension) of isosceles right triangle $ABC.$ Let $s=AP^2+PB^2.$ Then:

$s\lt2CP^2$ para un número finito de posiciones de $P$

$s\lt2CP^2$ for a finite number of positions of $P$

$s\lt2CP^2$ para un número infinito de posiciones de $P$

$s\lt2CP^2$ for an infinite number of positions of $P$

$s=2CP^2$ solo si $P$ es el punto medio de $AB$ o un extremo de $AB$

$s=2CP^2$ only if $P$ is the midpoint of $AB$ or an endpoint of $AB$

$s=2CP^2$ siempre

$s=2CP^2$ always

$s\gt2CP^2$ si $P$ es un punto de trisección de $AB$

$s\gt2CP^2$ if $P$ is a trisection point of $AB$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Coloca el punto medio de $AB$ en el origen y $AB$ sobre el eje $x$

Put the midpoint of $AB$ at the origin and $AB$ on the $x$ -axis

Pista grande:

Usa $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a)$ y $P=(p,0)$

Use $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a),$ and $P=(p,0)$

Solución:

Toma $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a)$ y $P=(p,0).$ Esto describe todos los puntos de la recta que contiene la hipotenusa. Entonces, $\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $s=2CP^2$ para toda posición de $P.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Take $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a),$ and $P=(p,0).$ This describes every point on the hypotenuse line. Then $\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}$ Thus $s=2CP^2$ for every position of $P.$

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años