Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.$ Sea $k$ el menor entero positivo para el cual la cifra no nula más a la derecha de $a_k$ es impar. La cifra no nula más a la derecha de $a_k$ es

For each positive integer $n,$ let $a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.$ Let $k$ denote the smallest positive integer for which the rightmost nonzero digit of $a_k$ is odd. The rightmost nonzero digit of $a_k$ is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:prime valuations trailing digits aritmética modular

Nivel de dificultad: 2630

Pista pequeña:

Escribe $a_n=n(n+1)\cdots(n+9)$ y compara sus potencias de $2$ y $5$

Write $a_n=n(n+1)\cdots(n+9)$ and compare its powers of $2$ and $5$

Pista grande:

Una cifra no nula impar en el extremo derecho se vuelve posible por primera vez cuando el bloque de diez términos contiene $5^7$

An odd rightmost nonzero digit first becomes possible when the ten-term block contains $5^7$

Solución:

Los cinco términos pares de cualesquiera diez enteros consecutivos aportan al menos $2^8.$ Por tanto, la cifra no nula final solo puede ser impar cuando el bloque contiene al menos ocho factores de $5,$ lo que se hace posible por primera vez cuando contiene $5^7=78125.$ Para $n=5^7-9,$ el bloque tiene $v_2=9$ y $v_5=8,$ así que la cifra sigue siendo par. Para $n=5^7-8=78117,$ ambas valuaciones son $8.$ Al cancelar $2^8 5^8$ y multiplicar las cifras de unidades impares restantes se obtiene $\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}$ Por consiguiente, la primera cifra no nula final impar es $9,$ y la respuesta correcta es E.

The five even terms in any ten consecutive integers contribute at least $2^8.$ Thus the rightmost nonzero digit can be odd only when the block contains at least eight factors of $5,$ first possible when it contains $5^7=78125.$ For $n=5^7-9,$ the block has $v_2=9$ and $v_5=8,$ so the digit remains even. For $n=5^7-8=78117,$ both valuations are $8.$ Cancelling $2^8 5^8$ and multiplying the remaining odd unit digits gives $\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}$ Hence the first odd rightmost nonzero digit is $9,$ and E is correct.

1998 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años