Question

Si

$\begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0, \end{aligned}$

la raíz mayor menos la raíz menor es:

If

$\begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0, \end{aligned}$

the larger root minus the smaller root is:

$-2+3\sqrt3$

$2-\sqrt3$

$6+3\sqrt3$

$6-3\sqrt3$

$3\sqrt3+2$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Observa que $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$

Notice that $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$

Pista grande:

Para $Ax^2+Bx+C=0,$ la diferencia de raíces es $\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}$

For $Ax^2+Bx+C=0,$ the root difference is $\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}$

Solución:

Sea $A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ y $B=2+\sqrt3.$ El discriminante es $B^2-4A(-2)=A+8A=9A.$ Por tanto, la diferencia de raíces es $\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ and $B=2+\sqrt3.$ The discriminant is $B^2-4A(-2)=A+8A=9A.$ Hence the root difference is $\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1964 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años