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1974 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1974 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1974 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Un segmento se divide de modo que la parte menor es a la parte mayor como la parte mayor es al segmento completo. Si RR es la razón entre la parte menor y la mayor, entonces el valor de R[R(R2+R−1)+R−1]+R−1 R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1} es

A line segment is divided so that the lesser part is to the greater part as the greater part is to the whole. If RR is the ratio of the lesser part to the greater part, then the value of R[R(R2+R−1)+R−1]+R−1 R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1} is

22

2R2R

R−1R^{-1}

2+R−12+R^{-1}

2+R2+R

Respuesta: A
Conceptos:cuadráticaexponentesustitución
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:

Traduce la condición de división como R=11+RR=\frac{1}{1+R}

Translate the division condition into R=11+RR=\frac{1}{1+R}

Pista grande:

A partir de R2+R=1,R^2+R=1, deduce R−1=R+1R^{-1}=R+1 y simplifica desde el exponente más interior hacia afuera

From R2+R=1,R^2+R=1, derive R−1=R+1R^{-1}=R+1 and simplify from the innermost exponent outward

Solución:

Escala la parte mayor a 1,1, de modo que la menor sea R.R. La condición da R=11+R,R=\frac{1}{1+R}, por lo que R2+R=1,R−1=R+1. R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1. En consecuencia, R2+R−1=R2+R+1=2. R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2. Al avanzar hacia afuera, el exponente del RR exterior se convierte en R R2+R−1+R−1=R2+R−1=2. \begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned} Por lo tanto, la expresión completa es R2+R−1=2.R^2+R^{-1}=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Scale the greater part to 1,1, making the lesser part R.R. The condition gives R=11+R,R=\frac{1}{1+R}, so R2+R=1,R−1=R+1. R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1. Consequently R2+R−1=R2+R+1=2. R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2. Working outward, the exponent of the outer RR becomes R R2+R−1+R−1=R2+R−1=2. \begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned} The whole expression is therefore R2+R−1=2.R^2+R^{-1}=2.

Therefore, the correct answer is A.

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