Question

En la figura adjunta, los segmentos $AB$ y $CD$ son paralelos, la medida del ángulo $D$ es el doble de la del ángulo $B,$ y las longitudes de los segmentos $AD$ y $CD$ son $a$ y $b,$ respectivamente. Entonces la longitud de $AB$ es igual a:

In the accompanying figure, segments $AB$ and $CD$ are parallel, the measure of angle $D$ is twice that of angle $B,$ and the measures of segments $AD$ and $CD$ are $a$ and $b,$ respectively. Then the measure of $AB$ is equal to:

$\tfrac12a+2b$

$\tfrac32b+\tfrac34a$

$2a-b$

$4b-\tfrac12a$

$a+b$

Respuesta: E

Conceptos:bisectriz rectas paralelas triángulo isósceles paralelogramo

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Biseca el ángulo $D$ y haz que la bisectriz corte a $AB$ en $P$

Bisect angle $D$ and let the bisector meet $AB$ at $P$

Pista grande:

La persecución de ángulos muestra que $\triangle APD$ es isósceles, mientras que $PBCD$ es un paralelogramo

Angle chasing makes $\triangle APD$ isosceles, while $PBCD$ is a parallelogram

Solución:

Sea $P$ el punto donde la bisectriz de $\angle D$ corta a $AB.$ Como $\angle D=2\angle B,$ cada mitad tiene medida $\angle B.$ Puesto que $AB\parallel CD,$ el ángulo interior alterno $\angle APD$ también es igual a $\angle PDC.$ Así, el triángulo $APD$ es isósceles y $AP=AD=a.$ Además, $PB\parallel CD$ y $BC\parallel PD,$ por lo que $PBCD$ es un paralelogramo. Entonces $PB=CD=b.$ Por lo tanto, $AB=AP+PB=a+b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the bisector of $\angle D$ meet $AB$ at $P.$ Because $\angle D=2\angle B,$ each half has measure $\angle B.$ Since $AB\parallel CD,$ the alternate interior angle $\angle APD$ also equals $\angle PDC.$ Thus triangle $APD$ is isosceles and $AP=AD=a.$ Also $PB\parallel CD$ and $BC\parallel PD,$ so $PBCD$ is a parallelogram. Hence $PB=CD=b.$ Therefore $AB=AP+PB=a+b.$

Therefore, the correct answer is E.

1970 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años