Question

¿Cuántas ternas ordenadas distintas $(x,y,z)$ satisfacen las ecuaciones $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}$

How many distinct ordered triples $(x,y,z)$ satisfy the equations $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}$

ninguna

none

$1$

$2$

$4$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:simetría (álgebra)Fórmulas de Vieta permutaciones

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Reescala las variables tomando $x=2u,$ $y=v,$ y $z=\frac{w}{2}$

Rescale the variables by setting $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}$

Pista grande:

Las nuevas variables tienen sumas simétricas elementales $6,$ $11,$ y $6$

The new variables have elementary symmetric sums $6,$ $11,$ and $6$

Solución:

Toma $x=2u,$ $y=v,$ y $z=\frac{w}{2}.$ Al dividir las dos primeras ecuaciones por $2$ , se obtiene $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}$ mientras que $uvw=6.$ Por tanto, $u,$ $v,$ y $w$ son las tres raíces de $p(t)=t^3-6t^2+11t-6.$ Este polinomio se factoriza como $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),$ de modo que son $1,$ $2,$ y $3$ en cualquier orden. Sus $3!=6$ permutaciones producen $6$ ternas ordenadas distintas $(x,y,z).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}.$ Dividing the first two equations by $2$ gives $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}$ while $uvw=6.$ Thus $u,$ $v,$ and $w$ are the three roots of $p(t)=t^3-6t^2+11t-6.$ This polynomial factors as $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),$ so they are $1,$ $2,$ and $3$ in any order. Their $3!=6$ permutations produce $6$ distinct ordered triples $(x,y,z).$

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años