Question

Para cualquier número complejo $w=a+bi,$ se define $|w|$ como el número real $\sqrt{a^2+b^2}.$ Si $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ entonces $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ es igual a

For any complex number $w=a+bi,$ $|w|$ is defined to be the real number $\sqrt{a^2+b^2}.$ If $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ then $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ equals

$\frac19\sin40^\circ$

$\frac29\sin20^\circ$

$\frac19\cos40^\circ$

$\frac1{18}\cos20^\circ$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:número complejo raíces de la unidad serie aritmético-geométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Sea $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ y resta $wS$ de $S$

Let $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ and subtract $wS$ from $S$

Pista grande:

Usa $w^9=1$ y $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Use $w^9=1$ and $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Solución:

Sea $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Como $w^9=1$ y $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Por lo tanto, $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ porque $|w|=1.$ Así, $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Since $w^9=1$ and $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Therefore $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ because $|w|=1.$ Thus $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Therefore, the correct answer is B.

1984 AMC 12 Problema 30

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años