Soluciones del 1984 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ es igual a

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ equals

$62{,}500$

$1000$

$500$

$250$

$\frac12$

Conceptos:diferencia de cuadrados manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Factoriza el denominador como una diferencia de cuadrados

Factor the denominator as a difference of squares

Pista grande:

Usa $252+248=500$ y $252-248=4$

Use $252+248=500$ and $252-248=4$

Solución:

Al factorizar el denominador obtenemos $\begin{aligned} 252^2-248^2 &=(252+248)\\ &\quad{}\cdot(252-248)\\ &=500\cdot4=2000. \end{aligned}$ Así, el cociente dado es $\frac{1000^2}{2000}=500.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring the denominator gives $\begin{aligned} 252^2-248^2 &=(252+248)\\ &\quad{}\cdot(252-248)\\ &=500\cdot4=2000. \end{aligned}$ Thus the given quotient is $\frac{1000^2}{2000}=500.$ Therefore, the correct answer is C.

2.

Si $x,$ $y$ y $y-\frac1x$ no son $0,$ entonces $\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}$ es igual a

If $x,$ $y$ and $y-\frac1x$ are not $0,$ then $\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}$ equals

$1$

$\frac{x}{y}$

$\frac{y}{x}$

$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$

$xy-\frac1{xy}$

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Escribe el numerador y el denominador como fracciones únicas

Write the numerator and denominator as single fractions

Pista grande:

Ambas partes contienen el factor común $xy-1$

Both parts contain the common factor $xy-1$

Solución:

Tenemos $x-\frac1y=\frac{xy-1}{y}$ y $y-\frac1x=\frac{xy-1}{x}.$ Las hipótesis hacen que las cantidades necesarias sean distintas de cero, por lo que su cociente es $\frac{\frac{xy-1}{y}}{\frac{xy-1}{x}}=\frac{x}{y}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We have $x-\frac1y=\frac{xy-1}{y}$ and $y-\frac1x=\frac{xy-1}{x}.$ The hypotheses make the needed quantities nonzero, so their quotient is $\frac{\frac{xy-1}{y}}{\frac{xy-1}{x}}=\frac{x}{y}.$ Therefore, the correct answer is B.

3.

Sea $n$ el menor entero no primo mayor que $1$ que no tiene ningún factor primo menor que $10.$ Entonces

Let $n$ be the smallest nonprime integer greater than $1$ with no prime factor less than $10.$ Then

$100\lt n\le110$

$110\lt n\le120$

$120\lt n\le130$

$130\lt n\le140$

$140\lt n\le150$

Conceptos:factorización en primos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

El menor factor primo permitido es $11$

The smallest permitted prime factor is $11$

Pista grande:

Para formar el menor compuesto, usa los dos menores factores primos permitidos

To make the smallest composite, use the two smallest permitted prime factors

Solución:

Todo factor primo de $n$ es por lo menos $11.$ El menor compuesto con esa propiedad es $11\cdot11=121,$ que se encuentra en $120\lt n\le130.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Every prime factor of $n$ is at least $11.$ The smallest composite with that property is $11\cdot11=121,$ which lies in $120\lt n\le130.$

Therefore, the correct answer is C.

4.

Un rectángulo corta un círculo como se muestra: $AB=4,$ $BC=5$ y $DE=3.$ Entonces $EF$ es igual a

A rectangle intersects a circle as shown: $AB=4,$ $BC=5$ and $DE=3.$ Then $EF$ equals

$6$

$7$

$\frac{20}{3}$

$8$

$9$

Conceptos:cuerda mediatriz rectángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Las mediatrices de las dos cuerdas paralelas pasan por el mismo centro

The perpendicular bisectors of the two parallel chords pass through the same center

Pista grande:

Por tanto, los puntos medios de $BC$ y $EF$ tienen la misma posición horizontal

Therefore the midpoints of $BC$ and $EF$ have the same horizontal position

Solución:

La recta que pasa por el centro del círculo y es perpendicular a las cuerdas paralelas $BC$ y $EF$ biseca ambas. Medido desde el lado izquierdo del rectángulo, el punto medio de $BC$ está en $4+\frac52,$ mientras que el de $EF$ está en $3+\frac{EF}{2}.$ Por tanto, $4+\frac52=3+\frac{EF}{2},$ lo que da $EF=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The line through the circle’s center perpendicular to the parallel chords $BC$ and $EF$ bisects both. Measured from the rectangle’s left side, the midpoint of $BC$ is $4+\frac52,$ while the midpoint of $EF$ is $3+\frac{EF}{2}.$ Thus $4+\frac52=3+\frac{EF}{2},$ giving $EF=7.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

El mayor entero $n$ para el cual $n^{200}\lt5^{300}$ es

The largest integer $n$ for which $n^{200}\lt5^{300}$ is

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:exponente cuadrado perfecto desigualdad

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Toma la raíz centésima positiva de ambos lados

Take the positive one-hundredth root of both sides

Pista grande:

Compara $n^2$ con $5^3$

Compare $n^2$ with $5^3$

Solución:

Al tomar raíces centésimas positivas obtenemos $n^2\lt5^3=125.$ Como $11^2=121\lt125$ , pero $12^2=144\gt125,$ el mayor entero posible es $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking positive one-hundredth roots gives $n^2\lt5^3=125.$ Since $11^2=121\lt125$ but $12^2=144\gt125,$ the largest possible integer is $11.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

En cierta escuela hay tres veces tantos niños como niñas y nueve veces tantas niñas como docentes. Si las letras $b,$ $g,$ $t$ representan respectivamente el número de niños, niñas y docentes, entonces el total puede representarse mediante la expresión

In a certain school, there are three times as many boys as girls and nine times as many girls as teachers. Using the letters $b,$ $g,$ $t$ to represent the number of boys, girls and teachers, respectively, then the total number of boys, girls and teachers can be represented by the expression

$31b$

$\frac{37}{27}b$

$13g$

$\frac{37}{27}g$

$\frac{37}{27}t$

Conceptos:razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Expresa tanto $g$ como $t$ en función de $b$

Express both $g$ and $t$ in terms of $b$

Pista grande:

Las razones dadas implican $g=\frac{b}{3}$ y $t=\frac{b}{27}$

The given ratios imply $g=\frac{b}{3}$ and $t=\frac{b}{27}$

Solución:

Como $b=3g$ y $g=9t,$ tenemos $g=\frac{b}{3}$ y $t=\frac{b}{27}.$ Por tanto, $b+g+t=b+\frac b3+\frac b{27}=\frac{37}{27}b.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $b=3g$ and $g=9t,$ we have $g=\frac{b}{3}$ and $t=\frac{b}{27}.$ Hence $b+g+t=b+\frac b3+\frac b{27}=\frac{37}{27}b.$ Therefore, the correct answer is B.

7.

Cuando Dave camina a la escuela, da en promedio $90$ pasos por minuto, cada uno de $75$ cm. Tarda $16$ minutos en llegar. Su hermano Jack va a la misma escuela por la misma ruta y da en promedio $100$ pasos por minuto, pero sus pasos miden solo $60$ cm. ¿Cuánto tarda Jack en llegar a la escuela?

When Dave walks to school, he averages $90$ steps per minute, each of his steps $75$ cm long. It takes him $16$ minutes to get to school. His brother, Jack, going to the same school by the same route, averages $100$ steps per minute, but his steps are only $60$ cm long. How long does it take Jack to get to school?

$14\frac29$ min

$14\frac29$ min.

$15$ min

$15$ min.

$18$ min

$18$ min.

$20$ min

$20$ min.

$22\frac29$ min

$22\frac29$ min.

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Halla la longitud de la ruta usando la frecuencia de pasos, la longitud del paso y el tiempo de Dave

Find the route’s length from Dave’s step rate, step length, and time

Pista grande:

Jack recorre $100\cdot60$ centímetros cada minuto

Jack covers $100\cdot60$ centimeters each minute

Solución:

La ruta mide $16\cdot90\cdot75$ centímetros. Jack recorre $100\cdot60$ centímetros por minuto, así que su tiempo es $\frac{16\cdot90\cdot75}{100\cdot60}=18$ minutos. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The route is $16\cdot90\cdot75$ centimeters long. Jack covers $100\cdot60$ centimeters per minute, so his time is $\frac{16\cdot90\cdot75}{100\cdot60}=18$ minutes. Therefore, the correct answer is C.

8.

La figura $ABCD$ es un trapecio con $AB\parallel DC,$ $AB=5,$ $BC=3\sqrt2,$ $\angle BCD=45^\circ$ y $\angle CDA=60^\circ.$ La longitud de $DC$ es

Figure $ABCD$ is a trapezoid with $AB\parallel DC,$ $AB=5,$ $BC=3\sqrt2,$ $\angle BCD=45^\circ$ and $\angle CDA=60^\circ.$ The length of $DC$ is

$7+\frac23\sqrt3$

$8$

$9\frac12$

$8+\sqrt3$

$8+3\sqrt3$

Conceptos:trapecio triángulo rectángulo especial descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde $A$ y $B$ hasta $DC$

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $DC$

Pista grande:

El triángulo de la derecha es $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ,$ y el de la izquierda es $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

The right-hand triangle is $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ,$ and the left-hand triangle is $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Solución:

Traza perpendiculares desde $A$ y $B$ hasta $DC.$ Como $BC=3\sqrt2$ y el ángulo en $C$ es $45^\circ,$ tanto la altura como el desplazamiento horizontal derecho son $3.$ El triángulo izquierdo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ tiene altura $3,$ así que su desplazamiento horizontal es $\sqrt3.$ Por tanto, $DC=\sqrt3+AB+3=8+\sqrt3.$ La respuesta correcta es D.

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $DC.$ Since $BC=3\sqrt2$ and the angle at $C$ is $45^\circ,$ both the height and the right horizontal offset are $3.$ The left $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle has height $3,$ so its horizontal offset is $\sqrt3.$ Therefore $DC=\sqrt3+AB+3=8+\sqrt3.$ The correct answer is D.

9.

El número de dígitos de $4^{16}5^{25}$ (escrito en la forma usual de base $10$ ) es

The number of digits in $4^{16}5^{25}$ (when written in the usual base $10$ form) is

$31$

$30$

$29$

$28$

$27$

Conceptos:exponente dígitos potencia de 2

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Reescribe la potencia de $4$ como una potencia de $2$

Rewrite the power of $4$ as a power of $2$

Pista grande:

Empareja $25$ factores de $2$ con los $25$ factores de $5$

Pair $25$ factors of $2$ with the $25$ factors of $5$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25}. \end{aligned}$ Esto es $128$ seguido de $25$ ceros, por lo que tiene $3+25=28$ dígitos. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25}. \end{aligned}$ This is $128$ followed by $25$ zeros, so it has $3+25=28$ digits. Therefore, the correct answer is D.

10.

Cuatro números complejos se encuentran en los vértices de un cuadrado en el plano complejo. Tres de los números son $1+2i,$ $-2+i$ y $-1-2i.$ El cuarto número es

Four complex numbers lie at the vertices of a square in the complex plane. Three of the numbers are $1+2i,$ $-2+i$ and $-1-2i.$ The fourth number is

$2+i$

$2-i$

$1-2i$

$-1+2i$

$-2-i$

Conceptos:número complejo cuadrado (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Dos de los vértices dados son opuestos

Two of the listed vertices are opposites

Pista grande:

Su punto medio es el centro del cuadrado; refleja el vértice dado restante respecto de ese punto

Their midpoint is the square’s center, so reflect the remaining given vertex through that point

Solución:

Los puntos $1+2i$ y $-1-2i$ son vértices opuestos, por lo que su punto medio $0$ es el centro del cuadrado. Así, el cuarto vértice es la reflexión de $-2+i$ respecto del origen, es decir, $2-i.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The points $1+2i$ and $-1-2i$ are opposite vertices, so their midpoint $0$ is the center of the square. The fourth vertex is therefore the reflection of $-2+i$ through the origin, namely $2-i.$

Therefore, the correct answer is B.

11.

Una calculadora tiene una tecla que reemplaza el número mostrado por su cuadrado y otra que lo reemplaza por su recíproco. Sea $y$ el resultado final si se comienza con un número $x\ne0$ y se alternan las operaciones de elevar al cuadrado y tomar el recíproco, cada una $n$ veces. Si se supone que la calculadora es completamente exacta (por ejemplo, sin redondeo ni desbordamiento), entonces $y$ es igual a

A calculator has a key which replaces the displayed entry with its square, and another key which replaces the displayed entry with its reciprocal. Let $y$ be the final result if one starts with an entry $x\ne0$ and alternately squares and reciprocates $n$ times each. Assuming the calculator is completely accurate (e.g., no roundoff or overflow), then $y$ equals

$x^{(-2)^n}$

$x^{2n}$

$x^{-2n}$

$x^{-2^n}$

$x^{(-1)^n2n}$

Conceptos:exponente simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Sigue únicamente el exponente de $x$

Track only the exponent of $x$

Pista grande:

Cada par de operaciones, elevar al cuadrado y luego tomar el recíproco, multiplica el exponente por $-2$

One squaring-reciprocating pair multiplies the exponent by $-2$

Solución:

Escribe el valor mostrado como $x^e.$ Elevar al cuadrado cambia $e$ por $2e,$ y luego tomar el recíproco lo cambia por $-2e.$ A partir de $e=1,$ después de $n$ pares de operaciones el exponente es $(-2)^n.$ Por lo tanto, $y=x^{(-2)^n}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the displayed value as $x^e.$ Squaring changes $e$ to $2e,$ and then reciprocating changes it to $-2e.$ Starting from $e=1,$ after $n$ such pairs the exponent is $(-2)^n.$ Thus $y=x^{(-2)^n}.$

Therefore, the correct answer is A.

12.

Si la sucesión $\{a_n\}$ se define mediante $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ entonces $a_{100}$ es igual a

If the sequence $\{a_n\}$ is defined by $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ then $a_{100}$ equals

$9900$

$9902$

$9904$

$10100$

$10102$

Conceptos:recursión sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Suma todos los incrementos desde $a_1$ hasta $a_{100}$

Add all increments from $a_1$ through $a_{100}$

Pista grande:

Usa $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Use $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Solución:

Al telescopar la recurrencia se obtiene $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Telescoping the recurrence gives $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is B.

13.

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ es igual a

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ equals

$\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

$4-\sqrt2-\sqrt3$

$\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6-5$

$\frac12(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt3)$

$\frac13(\sqrt3+\sqrt5-\sqrt2)$

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Agrupa los dos primeros radicales del denominador

Group the first two radicals in the denominator

Pista grande:

Multiplica $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ por $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

Multiply $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ by $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

Solución:

Observa que $\begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned}$ Por consiguiente, el cociente es $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Observe that $\begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned}$ Hence the quotient is $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

El producto de todas las raíces reales de la ecuación $x^{\log_{10}x}=10$ es

The product of all real roots of the equation $x^{\log_{10}x}=10$ is

$1$

$-1$

$10$

$10^{-1}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:logaritmo cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Toma el logaritmo en base $10$ de ambos lados

Take the base- $10$ logarithm of both sides

Pista grande:

Sea $t=\log_{10}x$ y resuelve la ecuación resultante en $t$

Let $t=\log_{10}x$ and solve the resulting equation in $t$

Solución:

El logaritmo exige que $x\gt0.$ Al tomar logaritmos en base $10$ se obtiene $(\log_{10}x)^2=1.$ Así, $\log_{10}x=\pm1,$ por lo que las dos raíces son $10$ y $10^{-1},$ cuyo producto es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The logarithm requires $x\gt0.$ Taking base- $10$ logarithms gives $(\log_{10}x)^2=1.$ Thus $\log_{10}x=\pm1,$ so the two roots are $10$ and $10^{-1},$ whose product is $1.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

Si $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ entonces un valor posible de $x$ es

If $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ then one value for $x$ is

$18^\circ$

$30^\circ$

$36^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

Conceptos:identidad trigonométrica suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y reconoce una identidad del coseno de una suma

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

Pista grande:

Usa $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Use $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Solución:

La ecuación equivale a $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Por lo tanto, $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Al tomar $k=0$ se obtiene $x=18^\circ,$ el valor que aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Therefore $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Taking $k=0$ gives $x=18^\circ,$ the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

16.

La función $f(x)$ satisface $f(2+x)=f(2-x)$ para todo número real $x.$ Si la ecuación $f(x)=0$ tiene exactamente cuatro raíces reales distintas, entonces la suma de estas raíces es

The function $f(x)$ satisfies $f(2+x)=f(2-x)$ for all real numbers $x.$ If the equation $f(x)=0$ has exactly four distinct real roots, then the sum of these roots is

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:ecuación funcional simetría (álgebra)emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

La ecuación hace que la gráfica sea simétrica respecto de $x=2$

The equation makes the graph symmetric about $x=2$

Pista grande:

Empareja cada raíz $2+r$ con su raíz reflejada $2-r$

Pair each root $2+r$ with its reflected root $2-r$

Solución:

La relación muestra que cada raíz $2+r$ está emparejada con $2-r.$ Por lo tanto, cuatro raíces distintas forman dos pares de este tipo, y cada par suma $4.$ La suma de las cuatro raíces es $2\cdot4=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The relation shows that every root $2+r$ is paired with $2-r.$ Four distinct roots therefore form two such pairs, and each pair has sum $4.$ The sum of all four roots is $2\cdot4=8.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

Un triángulo rectángulo $ABC$ , con hipotenusa $AB$ , tiene lado $AC=15.$ La altura $CH$ divide $AB$ en los segmentos $AH$ y $HB,$ con $HB=16.$ El área de $\triangle ABC$ es

A right triangle $ABC$ with hypotenuse $AB$ has side $AC=15.$ Altitude $CH$ divides $AB$ into segments $AH$ and $HB,$ with $HB=16.$ The area of $\triangle ABC$ is

$120$

$144$

$150$

$216$

$144\sqrt5$

Conceptos:triángulo rectángulo altura semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa la relación de proyección del triángulo rectángulo $AC^2=AH\cdot AB$

Use the right-triangle projection relation $AC^2=AH\cdot AB$

Pista grande:

Después de hallar $AH,$ usa $CH^2=AH\cdot HB$

After finding $AH,$ use $CH^2=AH\cdot HB$

Solución:

Sea $AH=h.$ La semejanza en el triángulo rectángulo da $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}$ de donde $h=9.$ Por consiguiente, $AB=25.$ Además, $CH=\sqrt{AH\cdot HB},$ por lo que $CH=\sqrt{9\cdot16}=12.$ El área es $\frac12\cdot25\cdot12=150.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AH=h.$ Similarity in the right triangle gives $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}$ so $h=9.$ Hence $AB=25.$ Also $CH=\sqrt{AH\cdot HB},$ so $CH=\sqrt{9\cdot16}=12.$ The area is $\frac12\cdot25\cdot12=150.$

Therefore, the correct answer is C.

18.

Se elige un punto $(x,y)$ en el plano coordenado de modo que esté a la misma distancia del eje $x$ , del eje $y$ y de la recta $x+y=2.$ Entonces $x$

A point $(x,y)$ is to be chosen in the coordinate plane so that it is equally distant from the $x$ -axis, the $y$ -axis, and the line $x+y=2.$ Then $x$ is

$\sqrt2-1$

$\frac12$

$2-\sqrt2$

$1$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Conceptos:fórmula de la distancia bisectriz contraejemplo

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

La misma distancia a los dos ejes implica que $|x|=|y|$

Equal distance from the two axes forces $|x|=|y|$

Pista grande:

Examina las dos rectas $y=x$ y $y=-x$

Check both lines $y=x$ and $y=-x$

Solución:

La misma distancia a los ejes da $y=x$ o $y=-x.$ Sobre $y=-x,$ la distancia a la recta $x+y=2$ es $\sqrt2,$ de modo que tanto $(\sqrt2,-\sqrt2)$ como $(-\sqrt2,\sqrt2)$ satisfacen las tres condiciones de distancia. Sus coordenadas $x$ son distintas, así que $x$ no está determinado de manera única.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Equal distance from the axes gives $y=x$ or $y=-x.$ On $y=-x,$ the distance to the line $x+y=2$ is $\sqrt2,$ so both $(\sqrt2,-\sqrt2)$ and $(-\sqrt2,\sqrt2)$ satisfy all three distance conditions. Their $x$ -coordinates differ, so $x$ is not uniquely determined.

Therefore, the correct answer is E.

19.

Una caja contiene $11$ bolas numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $11.$ Si se extraen simultáneamente $6$ bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de las bolas extraídas sea impar?

A box contains $11$ balls, numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $11.$ If $6$ balls are drawn simultaneously at random, what is the probability that the sum of the numbers on the balls drawn is odd?

$\frac{100}{231}$

$\frac{115}{231}$

$\frac12$

$\frac{118}{231}$

$\frac6{11}$

Conceptos:combinaciones paridad muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Hay $6$ bolas con número impar y $5$ bolas con número par

There are $6$ odd-numbered balls and $5$ even-numbered balls

Pista grande:

Cuenta las selecciones que contienen $1,$ $3,$ o $5$ bolas impares

Count selections containing $1,$ $3,$ or $5$ odd balls

Solución:

Una suma impar requiere que una cantidad impar de las seis bolas elegidas tenga número impar. Hay $6$ bolas impares y $5$ pares, por lo que la cantidad de casos favorables es $\begin{aligned} &\binom61\binom55+\binom63\binom53\\ &\quad+\binom65\binom51\\ &=6+200+30=236. \end{aligned}$ De las $\binom{11}{6}=462$ selecciones, la probabilidad pedida es $\frac{236}{462}=\frac{118}{231}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An odd sum requires an odd number of the six selected balls to be odd. There are $6$ odd and $5$ even balls, so the favorable count is $\begin{aligned} &\binom61\binom55+\binom63\binom53\\ &\quad+\binom65\binom51\\ &=6+200+30=236. \end{aligned}$ Of the $\binom{11}{6}=462$ selections, the desired probability is $\frac{236}{462}=\frac{118}{231}.$

Therefore, the correct answer is D.

20.

El número de soluciones distintas de la ecuación $\left|x-|2x+1|\right|=3$ es

The number of distinct solutions of the equation $\left|x-|2x+1|\right|=3$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:valor absoluto análisis por casos ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Separa el valor absoluto exterior en dos ecuaciones

Split the outer absolute value into two equations

Pista grande:

En cada ecuación, aísla $|2x+1|$ antes de comprobar sus dos casos

For each equation, isolate $|2x+1|$ before checking its two cases

Solución:

Si $x-|2x+1|=3,$ entonces $|2x+1|=x-3,$ lo cual exige $x\ge3$ y no produce ninguna solución. Si $x-|2x+1|=-3,$ entonces $|2x+1|=x+3.$ Sus dos casos lineales dan $x=2$ y $x=-\frac{4}{3},$ ambos válidos. Así, hay $2$ soluciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $x-|2x+1|=3,$ then $|2x+1|=x-3,$ which requires $x\ge3$ and yields no solution. If $x-|2x+1|=-3,$ then $|2x+1|=x+3.$ Its two linear cases give $x=2$ and $x=-\frac{4}{3},$ both valid. Thus there are $2$ distinct solutions.

Therefore, the correct answer is C.

21.

El número de ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos que satisfacen simultáneamente las ecuaciones $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23 \end{aligned}$ es

The number of triples $(a,b,c)$ of positive integers which satisfy the simultaneous equations $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23. \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:Ecuación diofántica factor sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Factoriza la segunda ecuación como $c(a+b)=23$

Factor the second equation as $c(a+b)=23$

Pista grande:

Usa que $23$ es primo y que las variables son positivas para determinar $c$ y $a+b$

Use the primality of $23$ and positivity to determine $c$ and $a+b$

Solución:

Como $c(a+b)=23$ y todas las variables son enteros positivos, $c=1$ y $a+b=23.$ Sustituye $b=23-a$ en $ab+b=44.$ Entonces $(23-a)(a+1)=44,$ o bien $a^2-22a+21=0,$ por lo que $a=1$ o $21.$ Cada valor da un $b$ positivo, y produce exactamente dos ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $c(a+b)=23$ and all variables are positive integers, $c=1$ and $a+b=23.$ Put $b=23-a$ in $ab+b=44.$ Then $(23-a)(a+1)=44,$ or $a^2-22a+21=0,$ so $a=1$ or $21.$ Each gives a positive $b,$ producing exactly two triples.

Therefore, the correct answer is C.

22.

Sean $a$ y $c$ números positivos fijos. Para cada número real $t$ , sea $(x_t,y_t)$ el vértice de la parábola $y=ax^2+tx+c.$ Si el conjunto de vértices $(x_t,y_t)$ para todos los valores reales de $t$ se representa en el plano, la gráfica es

Let $a$ and $c$ be fixed positive numbers. For each real number $t$ let $(x_t,y_t)$ be the vertex of the parabola $y=ax^2+tx+c.$ If the set of vertices $(x_t,y_t)$ for all real values of $t$ is graphed in the plane, the graph is

una recta

a straight line

una parábola

a parabola

una parte de una parábola, pero no toda

part, but not all, of a parabola

una rama de una hipérbola

one branch of a hyperbola

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:parábola completar el cuadrado geometría analítica

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe las coordenadas del vértice en función de $t$

Write the vertex coordinates in terms of $t$

Pista grande:

Usa $x_t=-\frac{t}{2a}$ para eliminar $t$ de $y_t$

Use $x_t=-\frac{t}{2a}$ to eliminate $t$ from $y_t$

Solución:

Las coordenadas del vértice son $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.$ Como $t=-2ax_t,$ al eliminar $t$ se obtiene $y_t=c-ax_t^2.$ Cuando $t$ recorre todos los números reales, $x_t$ también lo hace, por lo que se traza la parábola completa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The vertex coordinates are $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.$ Since $t=-2ax_t,$ eliminating $t$ gives $y_t=c-ax_t^2.$ As $t$ ranges over all reals, so does $x_t,$ so the entire parabola is traced.

Therefore, the correct answer is B.

23.

$\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}$ es igual a

$\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}$ equals

$\tan10^\circ+\tan20^\circ$

$\tan30^\circ$

$\frac12(\tan10^\circ+\tan20^\circ)$

$\tan15^\circ$

$\frac14\tan60^\circ$

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Aplica las identidades de suma a producto tanto al numerador como al denominador

Apply the sum-to-product identities to both numerator and denominator

Pista grande:

Las dos sumas transformadas contienen el mismo factor $\cos5^\circ$

Both transformed sums contain the same $\cos5^\circ$ factor

Solución:

Sea $R$ la razón dada. Por las identidades de suma a producto, $\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $R$ denote the given ratio. By the sum-to-product identities, $\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is D.

24.

Si $a$ y $b$ son números reales positivos y cada una de las ecuaciones $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ tiene raíces reales, entonces el menor valor posible de $a+b$ es

If $a$ and $b$ are positive real numbers and each of the equations $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ has real roots, then the smallest possible value of $a+b$ is

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Exige que los discriminantes de las dos ecuaciones cuadráticas sean no negativos

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

Pista grande:

Combina $a^2\ge8b$ y $b^2\ge a$ para acotar $a$ y $b$

Combine $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a$ to bound $a$ and $b$

Solución:

Los dos discriminantes dan $a^2\ge8b$ y $b^2\ge a.$ Por lo tanto, $a^4\ge64b^2\ge64a.$ Como $a\gt0,$ esto implica $a\ge4,$ y entonces $b^2\ge a\ge4$ da $b\ge2.$ Así, $a+b\ge6.$ La igualdad ocurre cuando $a=4,b=2,$ y ambos discriminantes son cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two discriminants give $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a.$ Therefore $a^4\ge64b^2\ge64a.$ Since $a\gt0,$ this yields $a\ge4,$ and then $b^2\ge a\ge4$ gives $b\ge2.$ Thus $a+b\ge6.$ Equality occurs at $a=4,b=2,$ for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.

25.

El área total de todas las caras de un prisma rectangular es $22\text{ cm}^2,$ y la longitud total de todas sus aristas es $24\text{ cm}.$ Entonces la longitud en centímetros de cualquiera de sus diagonales interiores es

The total area of all the faces of a rectangular solid is $22\text{ cm}^2,$ and the total length of all its edges is $24\text{ cm}.$ Then the length in cm of any one of its internal diagonals is

$\sqrt{11}$

$\sqrt{12}$

$\sqrt{13}$

$\sqrt{14}$

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Conceptos:prisma rectangular área de superficie diagonal

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sean las longitudes de las aristas $x,y,z$ y traduce ambos totales en ecuaciones

Let the side lengths be $x,y,z$ and translate both totals into equations

Pista grande:

Expande $(x+y+z)^2$ para hallar $x^2+y^2+z^2$

Expand $(x+y+z)^2$ to find $x^2+y^2+z^2$

Solución:

Las condiciones dan $2(xy+xz+yz)=22$ y $4(x+y+z)=24,$ así que $xy+xz+yz=11$ y $x+y+z=6.$ Por tanto, el cuadrado de una diagonal interior es $x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.$ Su longitud es $\sqrt{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The conditions give $2(xy+xz+yz)=22$ and $4(x+y+z)=24,$ so $xy+xz+yz=11$ and $x+y+z=6.$ Hence the square of an internal diagonal is $x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.$ Its length is $\sqrt{14}.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

En el triángulo obtusángulo $ABC,$ $AM=MB,$ $MD\perp BC,$ y $EC\perp BC.$ Si el área de $\triangle ABC$ es $24,$ entonces el área de $\triangle BED$ es

In the obtuse triangle $ABC,$ $AM=MB,$ $MD\perp BC,$ $EC\perp BC.$ If the area of $\triangle ABC$ is $24,$ then the area of $\triangle BED$ is

$9$

$12$

$15$

$18$

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Conceptos:área del triángulo punto medio descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Traza el segmento $MC$ y compara $\triangle DMC$ con $\triangle DME$

Draw segment $MC$ and compare $\triangle DMC$ with $\triangle DME$

Pista grande:

Esos triángulos tienen la misma base $MD$ y alturas iguales; además, $M$ es el punto medio de $AB$

Those triangles have the same base $MD$ and equal altitudes; also $M$ is the midpoint of $AB$

Solución:

Traza $MC.$ Como $EC\parallel MD,$ los puntos $E$ y $C$ tienen la misma distancia perpendicular a $MD,$ por lo que $[DME]=[DMC].$ Entonces $\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Como $M$ es el punto medio de $AB,$ el triángulo $BMC$ tiene la mitad del área de $ABC.$ Por consiguiente, $[BED]=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw $MC.$ Since $EC\parallel MD,$ points $E$ and $C$ have equal perpendicular distances from $MD,$ so $[DME]=[DMC].$ Therefore $\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $M$ is the midpoint of $AB,$ triangle $BMC$ has half the area of $ABC.$ Thus $[BED]=12.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

En $\triangle ABC,$ $D$ está en $AC$ y $F$ está en $BC.$ Además, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ y $BD=DC=FC=1.$ Halla $AC.$

In $\triangle ABC,$ $D$ is on $AC$ and $F$ is on $BC.$ Also, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ and $BD=DC=FC=1.$ Find $AC.$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[4]{3}$

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Sea $AC=s$ y usa la relación de semejanza entre la altura y la hipotenusa

Let $AC=s$ and use the altitude-to-hypotenuse similarity relation

Pista grande:

Después compara $\cos\angle ACB$ en el triángulo rectángulo $ABC$ y el triángulo isósceles $BDC$

Then compare $\cos\angle ACB$ in right triangle $ABC$ and isosceles triangle $BDC$

Solución:

Sea $AC=s.$ La relación de proyección en el triángulo rectángulo da $AC^2=FC\cdot BC,$ por lo que $BC=s^2.$ Como $BD=DC=1,$ el numerador y el denominador de la ley de cosenos satisfacen $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Por tanto, $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ Pero $D$ está en $AC,$ y en el triángulo rectángulo $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Así, $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ de modo que $s^3=2$ y $AC=\sqrt[3]{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AC=s.$ The right-triangle projection relation gives $AC^2=FC\cdot BC,$ so $BC=s^2.$ Since $BD=DC=1,$ the numerator and denominator in the Law of Cosines satisfy $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Hence $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ But $D$ lies on $AC,$ and in right triangle $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Thus $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ so $s^3=2$ and $AC=\sqrt[3]{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

28.

El número de pares distintos de enteros $(x,y)$ tales que $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ es

The number of distinct pairs of integers $(x,y)$ such that $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$7$

Conceptos:radical cuadrado perfecto conteo de pares

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa $1984=31\cdot8^2$ y escribe ambos radicandos con la misma parte libre de cuadrados

Use $1984=31\cdot8^2$ and write both radicands with a common squarefree part

Pista grande:

Haz $x=31u^2,\ y=31v^2$ y cuenta los enteros positivos $u\lt v$ tales que $u+v=8$

Set $x=31u^2,\ y=31v^2$ and count positive integers $u\lt v$ with $u+v=8$

Solución:

Como $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ los dos radicales deben tener la misma parte libre de cuadrados, $31.$ Escribe $x=31u^2$ y $y=31v^2$ para enteros positivos $u,v.$ Entonces $u+v=8,\qquad u\lt v.$ Las posibilidades son $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ y $(3,5),$ que producen tres pares distintos $(x,y).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ the two radicals must have common squarefree part $31.$ Write $x=31u^2$ and $y=31v^2$ for positive integers $u,v.$ Then $u+v=8,\qquad u\lt v.$ The possibilities are $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ and $(3,5),$ producing three distinct pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is D.

29.

Halla el mayor valor de $\frac{y}{x}$ entre los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

Find the largest value of $\frac{y}{x}$ for pairs of real numbers $(x,y)$ which satisfy $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

$3+2\sqrt2$

$2+\sqrt3$

$3\sqrt3$

$6$

$6+2\sqrt3$

Conceptos:círculo pendiente recta tangente optimización

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Interpreta $\frac{y}{x}$ como la pendiente de una recta que pasa por el origen

Interpret $\frac{y}{x}$ as the slope of a line through the origin

Pista grande:

En una pendiente extrema, la recta $y=mx$ es tangente al círculo

At an extreme slope, the line $y=mx$ is tangent to the circle

Solución:

El círculo está completamente en la región donde $x\gt0,$ así que $\frac{y}{x}$ es la pendiente $m$ de la recta $y=mx$ que pasa por uno de sus puntos. En un extremo, esta recta es tangente. La distancia del centro $(3,3)$ a $mx-y=0$ debe ser $\sqrt6,$ de modo que $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Al elevar al cuadrado y simplificar se obtiene $m^2-6m+1=0,$ por lo que $m=3\pm2\sqrt2.$ El valor mayor es $3+2\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle lies entirely where $x\gt0,$ so $\frac{y}{x}$ is the slope $m$ of the line $y=mx$ through a point on it. At an extreme, this line is tangent. The distance from the center $(3,3)$ to $mx-y=0$ must equal $\sqrt6,$ so $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Squaring and simplifying gives $m^2-6m+1=0,$ hence $m=3\pm2\sqrt2.$ The larger value is $3+2\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

Para cualquier número complejo $w=a+bi,$ se define $|w|$ como el número real $\sqrt{a^2+b^2}.$ Si $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ entonces $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ es igual a

For any complex number $w=a+bi,$ $|w|$ is defined to be the real number $\sqrt{a^2+b^2}.$ If $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ then $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ equals

$\frac19\sin40^\circ$

$\frac29\sin20^\circ$

$\frac19\cos40^\circ$

$\frac1{18}\cos20^\circ$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:número complejo raíces de la unidad serie aritmético-geométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Sea $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ y resta $wS$ de $S$

Let $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ and subtract $wS$ from $S$

Pista grande:

Usa $w^9=1$ y $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Use $w^9=1$ and $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Solución:

Sea $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Como $w^9=1$ y $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Por lo tanto, $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ porque $|w|=1.$ Así, $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Since $w^9=1$ and $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Therefore $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ because $|w|=1.$ Thus $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Therefore, the correct answer is B.