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1983 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1983 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1983 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Los puntos distintos AA y BB están en un semicírculo de diámetro MNMN y centro C.C. El punto PP está en CNCN y ∠CAP=∠CBP=10∘.\angle CAP=\angle CBP=10^\circ. Si MA⌢=40∘,\overset{\frown}{MA}=40^\circ, entonces BN⌢\overset{\frown}{BN} es igual a

Distinct points AA and BB are on a semicircle with diameter MNMN and center C.C. The point PP is on CNCN and ∠CAP=∠CBP=10∘.\angle CAP=\angle CBP=10^\circ. If MA⌢=40∘,\overset{\frown}{MA}=40^\circ, then BN⌢\overset{\frown}{BN} equals

10∘10^\circ

15∘15^\circ

20∘20^\circ

25∘25^\circ

30∘30^\circ

Respuesta: C
Conceptos:círculoarcoley de los senospersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 2430
Pista pequeña:

El arco de 40∘40^\circ da ∠ACP=140∘\angle ACP=140^\circ

The 40∘40^\circ arc gives ∠ACP=140∘\angle ACP=140^\circ

Pista grande:

Compara los triángulos ACPACP y BCPBCP usando AC=BCAC=BC y la ley de los senos

Compare triangles ACPACP and BCPBCP using AC=BCAC=BC and the law of sines

Solución:

Como MA⌢=40∘,\overset{\frown}{MA}=40^\circ, el ángulo central es ∠MCA=40∘,\angle MCA=40^\circ, así que ∠ACP=140∘.\angle ACP=140^\circ. Por tanto, ∠APC=180∘−140∘\angle APC=180^\circ-140^\circ −10∘=30∘.{}-10^\circ=30^\circ. Al aplicar la ley de los senos a los triángulos ACPACP y BCP,BCP, y usar AC=BC,AC=BC, obtenemos sin⁡∠BPC=sin⁡30∘.\sin\angle BPC=\sin30^\circ. Como AA y BB son distintos, ∠BPC=150∘.\angle BPC=150^\circ. Por consiguiente, ∠BCN=180∘−150∘−10∘=20∘, \begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned} de modo que BN⌢=20∘.\overset{\frown}{BN}=20^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since MA⌢=40∘,\overset{\frown}{MA}=40^\circ, the central angle ∠MCA=40∘,\angle MCA=40^\circ, so ∠ACP=140∘.\angle ACP=140^\circ. Hence ∠APC=180∘−140∘\angle APC=180^\circ-140^\circ−10∘=30∘.{}-10^\circ=30^\circ. Applying the law of sines in triangles ACPACP and BCP,BCP, and using AC=BC,AC=BC, gives sin⁡∠BPC=sin⁡30∘.\sin\angle BPC=\sin30^\circ. Because AA and BB are distinct, ∠BPC=150∘.\angle BPC=150^\circ. Therefore ∠BCN=180∘−150∘−10∘=20∘, \begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned} so BN⌢=20∘.\overset{\frown}{BN}=20^\circ.

Therefore, the correct answer is C.

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