Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1988 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1988 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1988 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Sea f(x)=4x−x2.f(x)=4x-x^2. Dado x0,x_0, considera la sucesión definida por xn=f(xn−1)x_n=f(x_{n-1}) para todo n≥1.n\ge1. ¿Para cuántos números reales x0x_0 la sucesión x0,x_0, x1,x_1, x2,x_2, …\ldots toma solo un número finito de valores diferentes?

Let f(x)=4x−x2.f(x)=4x-x^2. Given x0,x_0, consider the sequence defined by xn=f(xn−1)x_n=f(x_{n-1}) for all n≥1.n\ge1. For how many real numbers x0x_0 will the sequence x0,x_0, x1,x_1, x2,x_2, …\ldots take on only a finite number of different values?

00

11 o 22

11 or 22

3,3, 4,4, 55 o 66

3,3, 4,4, 55 or 66

más de 66, pero una cantidad finita

more than 66 but finitely many

infinitos

infinitely many

Respuesta: E
Conceptos:function iterationpreimagesinducciónfinite orbits
Nivel de dificultad: 2930
Pista pequeña:

Empieza con 0,0, y luego busca números que se apliquen sucesivamente a 00

Start with 0,0, then find numbers mapping successively to 00

Pista grande:

Para todo a≤4,a\le4, resuelve 4x−x2=a4x-x^2=a y elige una nueva preimagen real

For every a≤4,a\le4, solve 4x−x2=a4x-x^2=a and choose a new real preimage

Solución:

Los valores iniciales 0,4,20,4,2 producen las órbitas finitas 00, 4→04\to0 y 2→4→0.2\to4\to0. En general, si ana_n inicia una cadena finita que termina en 0,0, resuelve 4an+1−an+12=an. 4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n. Sus soluciones reales son an+1=2±4−an.a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}. Elegir una preimagen que aún no esté en la cadena la extiende con un valor nuevo. Al repetir este proceso, se obtienen infinitos valores iniciales distintos con órbitas finitas.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The starting values 0,4,20,4,2 give finite orbits 00, 4→04\to0, and 2→4→0.2\to4\to0. More generally, if ana_n begins a finite chain ending at 0,0, solve 4an+1−an+12=an. 4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n. Its real solutions are an+1=2±4−an.a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}. Choosing a preimage not already in the chain extends it by one new value. Repeating produces infinitely many distinct starting values with finite orbits.

Thus the correct answer is E.

← Problema 29#29
Examen completo

El Problema 30 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12