Question

Halla la cifra de las unidades en la expansión decimal de $(15+\sqrt{220})^{19}+(15+\sqrt{220})^{82}.$

Find the units digit in the decimal expansion of $(15+\sqrt{220})^{19}+(15+\sqrt{220})^{82}.$

$0$

$2$

$5$

$9$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:recursión aritmética modular dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Empareja $\alpha=15+\sqrt{220}$ con su conjugado $\beta=15-\sqrt{220}$

Pair $\alpha=15+\sqrt{220}$ with its conjugate $\beta=15-\sqrt{220}$

Pista grande:

Los enteros $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfacen una recurrencia breve, mientras que $0\lt\beta\lt1$

The integers $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfy a short recurrence, while $0\lt\beta\lt1$

Solución:

Sean $\alpha=15+\sqrt{220}$ y $\beta=15-\sqrt{220},$ de modo que $0\lt\beta\lt1.$ Los enteros $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfacen $S_n=30S_{n-1}-5S_{n-2},$ por lo que $S_n\equiv0\pmod{10}$ para todo $n\ge1.$ Por tanto, $\begin{aligned} \alpha^{19}+\alpha^{82} &=S_{19}+S_{82}\\ &\quad-(\beta^{19}+\beta^{82}) \end{aligned}$ es un múltiplo de $10$ menos un número positivo menor que $1.$ Así, su parte entera termina en $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\alpha=15+\sqrt{220}$ and $\beta=15-\sqrt{220},$ so $0\lt\beta\lt1.$ The integers $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfy $S_n=30S_{n-1}-5S_{n-2},$ hence $S_n\equiv0\pmod{10}$ for every $n\ge1.$ Therefore $\begin{aligned} \alpha^{19}+\alpha^{82} &=S_{19}+S_{82}\\ &\quad-(\beta^{19}+\beta^{82}) \end{aligned}$ is a multiple of $10$ minus a positive number less than $1.$ Its integer part therefore ends in $9.$

Therefore, the correct answer is D.

1982 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años