Question

Cuando la suma de los primeros diez términos de una progresión aritmética es cuatro veces la suma de los primeros cinco términos, la razón entre el primer término y la diferencia común es:

When the sum of the first ten terms of an arithmetic progression is four times the sum of the first five terms, the ratio of the first term to the common difference is:

$1:2$

$2:1$

$1:4$

$4:1$

$1:1$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria razón y proporción

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe ambas sumas parciales en función del primer término $a$ y de la diferencia común $d$

Write both partial sums in terms of the first term $a$ and common difference $d$

Pista grande:

Usa $S_n=\dfrac n2(2a+(n-1)d)$ y simplifica $S_{10}=4S_5$

Use $S_n=\dfrac n2(2a+(n-1)d)$ and simplify $S_{10}=4S_5$

Solución:

La fórmula de la suma da $\begin{aligned} S_{10}&=5(2a+9d),\\ S_5&=\frac52(2a+4d). \end{aligned}$ La ecuación $S_{10}=4S_5$ se convierte en $2a+9d=2(2a+4d),$ por lo que $d=2a.$ Por consiguiente, $a:d=1:2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum formula gives $\begin{aligned} S_{10}&=5(2a+9d),\\ S_5&=\frac52(2a+4d). \end{aligned}$ The equation $S_{10}=4S_5$ becomes $2a+9d=2(2a+4d),$ so $d=2a.$ Hence $a:d=1:2.$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 Problema 30

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años