Question

Si $xy=b$ y $\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,$ entonces $(x+y)^2$ es igual a:

If $xy=b$ and $\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,$ then $(x+y)^2$ equals:

$(a+2b)^2$

$a^2+b^2$

$b(ab+2)$

$ab(b+2)$

$\dfrac1a+2b$

Respuesta: C

Conceptos:ecuación racional simetría (álgebra)manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Combina $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$ con denominador común $x^2y^2$

Combine $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$ using the common denominator $x^2y^2$

Pista grande:

Usa $xy=b$ para hallar $x^2+y^2$ y luego suma $2xy$

Use $xy=b$ to find $x^2+y^2$ , then add $2xy$

Solución:

Como $xy=b,$ $a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},$ de modo que $x^2+y^2=ab^2.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $xy=b,$ $a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},$ so $x^2+y^2=ab^2.$ Therefore $\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1958 AMC 12 Problema 30

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años