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1993 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1993 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1993 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Dado 0≤x0<1,0\le x_0\lt1, define xn={2xn−1,si 2xn−1<1,2xn−1−1,si 2xn−1≥1 x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{si }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{si }2x_{n-1}\ge1 \end{cases} para todo entero n>0.n\gt0. ¿Para cuántos valores de x0x_0 se cumple x0=x5x_0=x_5?

Given 0≤x0<1,0\le x_0\lt1, let xn={2xn−1,if 2xn−1<1,2xn−1−1,if 2xn−1≥1 x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{if }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{if }2x_{n-1}\ge1 \end{cases} for all integers n>0.n\gt0. For how many x0x_0 is it true that x0=x5?x_0=x_5?

00

11

55

3131

infinitos

infinitely many

Respuesta: D
Conceptos:iterationfractional partmodular equation
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:

Cada paso toma la parte fraccionaria del doble del valor anterior

Each step takes the fractional part of twice the preceding value

Pista grande:

Por lo tanto, x5x_5 es la parte fraccionaria de 32x032x_0

Thus x5x_5 is the fractional part of 32x032x_0

Solución:

La recurrencia es xn={2xn−1},x_n=\{2x_{n-1}\}, por lo que x5={32x0}.x_5=\{32x_0\}. La igualdad x5=x0x_5=x_0 exige 32x0−x0=⌊32x0⌋, 32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor, y, por tanto, 31x031x_0 es un entero. Los valores x0=k31x_0=\frac{k}{31} para k=0,k=0, 1,1, …,\ldots, 3030 satisfacen la recurrencia y pertenecen a [0,1).[0,1). Hay 3131 valores. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The recurrence is xn={2xn−1},x_n=\{2x_{n-1}\}, so x5={32x0}.x_5=\{32x_0\}. The equality x5=x0x_5=x_0 requires 32x0−x0=⌊32x0⌋, 32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor, hence 31x031x_0 is an integer. The values x0=k31x_0=\frac{k}{31} for k=0,k=0, 1,1, …,\ldots, 3030 all satisfy the recurrence and lie in [0,1).[0,1). There are 3131 values. Thus the correct answer is D.

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